初中北师大版（2024）2 一元二次方程的解法优秀学案设计

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考 点 演 练
题型1 解一元二次方程-直接开平方法
【典例1】先化简，再求值：(1+1x+1)÷x2−42x+2，其中x是一元二次方程x2﹣1＝0的解．
【变式1】解方程：（x+3）2＝4（x﹣2）2．
【变式2】计算：9（2x﹣1）2﹣16＝0．
【变式3】解方程：4x2﹣48＝0．
题型2 解一元二次方程-配方法
【典例1】解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）x2+2x﹣8＝0．
【变式1】用合适的方法解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【变式2】解方程：
（1）x2﹣2x﹣5＝0；
（2）（2x+3）2＝（3x+2）2．
【变式3】按要求解方程：
（1）直接开平方法：25x2﹣16＝0；
（2）配方法：x2﹣8x﹣1＝0．
题型3 解一元二次方程-公式法
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；
（2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．
【变式1】解方程：x（x﹣1）＝3．
【变式2】解方程：2x2+43x=22．
有一位同学解答如下：这里，a=2，b=43，c=22，
∴b2−4ac=(43)2−4×2×22=32．
∴x=−b±b2−4ac2a=−43±3222=−6±2．
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答．
【变式3】解方程：
（1）2（3x﹣2）2﹣32＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0．
题型4 解一元二次方程-因式分解法
【典例1】解方程：
（1）x2﹣6x＝16．
（2）x2﹣3x﹣1＝0．
【变式1】计算
（1）用配方法解方程x2﹣10x﹣8＝0；
（2）解方程（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
（3）用公式法解方程3x2+2x＝4．
【变式2】解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）（x+4）2＝2（x+4）．
【变式3】解方程：
（1）（x+1）2﹣4＝0；
（2）x2﹣7x+6＝0．
题型5 换元法解一元二次方程
【典例1】阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．
解得y1＝6，y2＝4．
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
∴x1=74，x2=54．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0；
（2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．
【变式1】嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
（1）嘉嘉的解法 ；淇淇的解法 ；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【变式2】已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣3）＝0，则a2+b2的值等于 ．
【变式3】为解方程（x2﹣2）2﹣5（x2﹣2）+4＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后设x2﹣2＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣2＝1，∴x=±3．当y＝4时，x2﹣2＝4，∴x=±6．∴原方程的解为x1=3，x2=−3，x3=6，x4=−6．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
用上述方法解下列方程：
（1）（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0；
（2）x4﹣8x2+7＝0．
题型6 根的判别式
【典例1】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+2＝0，判断方程的实数根的情况，并说明理由．
【变式2】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，求整数m的最大值．
【变式3】已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．
过 关 验 收
1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0．
2．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
3．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b=a−2+2−a−3，求关于y的方程14y2﹣c＝0的根．
4．用指定方法解下列一元二次方程：
（1）3（x﹣1）2＝12（直接开平方法）；
（2）x2+4x﹣3＝0（配方法）；
（3）y2=y+74（配方法）．
5．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x+1＝4；
（2）3x2﹣6x+1＝0．
6．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3x2+8x﹣3＝0．
解：二次项系数化为1，得x2+83x−1=0，第一步
配方，得x2+83x+(43)2−1=0，…第二步
变形，得(x+43)2=1，…第三步
开方，得x+43=±1，…第四步
解得x1=−13，x2=−73．…第五步
（1）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是 ；
（2）上面小君同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，写出正确的解答过程．
7．下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣8＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
（1）小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
8．对于任意实数a，b，定义a*b＝a（a+b）+b，已知a*4＝25，求实数a的值．
9．解下列方程．
（1）x2+4x﹣2＝0（配方法）；
（2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）．
10．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：(1−12−13−14)×(12+13+14+15)−(1−12−13−14−15)×(12+13+14)．
令12+13+14=t，则
原式=(1−t)(t+15)−(1−t−15)t=t+15−t2−15t−45t+t2=15．
（1）计算：
(1−12−13−⋯−12014)×(12+13+14+⋯+12015)−(1−12−13−⋯−12014−12015)×(12+13+14+⋯+12014)；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．
11．解方程：
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
12．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①b＝﹣1，c＝﹣1；②b＝10，c＝16；③b＝1，c＝3．
13．解方程：
（1）x（x﹣4）＝（x﹣4）；
（2）x2+6x﹣7＝0．
14．解方程：
（1）3（x﹣1）2＝x2﹣1；
（2）x2﹣4x﹣7＝0；
（3）2x2＝9x﹣8．
15．（1）解方程：（x+4）2＝5（x+4）；
（2）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
①小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
②请写出此题正确的解答过程．
16．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．
解得y1＝6，y2＝4．
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
∴x1=74，x2=54．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．
17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
18．定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，k＝432，因为3=4+22，所以432是“欢乐数”．
（1）直接写出最小的“欢乐数”是 ；
（2）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”；
（3）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，且10≤a+b+c≤15，求出“欢乐数”k的值．
19．解方程：
（1）4（x+1）2＝5；
（2）x2﹣6x＝11；
（3）（x+5）（x+1）＝12；
（4）8x2﹣2x﹣3＝0；
（5）x（x﹣1）＝1﹣x；
（6）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）当m＝﹣2时，直接写出该方程的根．
22．用合适的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x+2＝0；
（2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）；
（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+4＝0有实数根，求m的最大整数值．
23．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．
24．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）当m＝﹣2时，直接写出该方程的根．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k是最小的整数，求此时方程的根．
26．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|1﹣m|+m2+4m+4．
题型1 解一元二次方程-直接开平方法
题型2 解一元二次方程-配方法
题型3 解一元二次方程-公式法
题型4 解一元二次方程-因式分解法
题型5 换元法解一元二次方程
题型6 根的判别式
解｜题｜知｜识
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
解｜题｜知｜识
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
解｜题｜知｜识
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
解｜题｜知｜识
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
解｜题｜知｜识
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
嘉嘉：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
淇淇：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
解｜题｜知｜识
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
解：移项，得2x2+4x＝8，…第一步
二次项系数化为1，得x2+2x＝4，…第二步
配方，得（x+2）2＝8，…第三步
由此可得x+2=±22，…第四步
所以，x1=−2+22，x2=−2−22．…第五步
x2﹣2x＝﹣1（第一步）
x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）
（x﹣1）2＝0（第三步）
x1＝x2＝1（第四步）