初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定精品导学案

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考 点 演 练
题型1 正方形的性质
【典例1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别为BC、AD上一点，CE=32，OA＝10，则DF的长度是（ ）
A．32B．52C．72D．102
【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边CD上一点，CF⊥BE于点F，OF=22，CF＝2，则正方形的边长为（ ）
A．4B．2+22C．22+1D．210
【变式2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的中点，连结AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F．下列结论：
①AE=102AO；
②AP＝FP；
③若△CQD的面积为8，则正方形ABCD的面积为36；
④CE•EF＝EQ•DE．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【变式3】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形
B．当AC＝BD，▱ABCD是矩形
C．当AB＝BC，▱ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，▱ABCD是正方形
题型2 正方形的判定
【典例1】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CBD．（4）处可填∠B＝∠D
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【变式2】下列说法中，不正确的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【变式3】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型3 正方形的判定与性质
【典例1】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=32，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③④B．①③④C．①③D．②④
【变式2】下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴
D．正方形的对角线平分一组对角
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 ．
过 关 验 收
1．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是（ ）
A．2−2B．22−1C．232D．22−2
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．22B．1C．2D．2
3．如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（ ）
A．2B．22C．4D．42
4．如图，正方形ABCD的边长为5，点M是边BC上的点，DE⊥AM于点E，BF∥DE，交AM于点F．若E是AF的中点，则DE的长为（ ）
A．5B．25C．4D．3
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则△CEF的面积为（ ）
A．2+3B．4−22C．6−23D．8−43
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（1，2），点D在第二象限，点A在第三象限．若CD∥x轴，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，2）
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．2−2B．2−1C．22−2D．4−22
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（ ）
A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α
9．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
11．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ．
12．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 ．
13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长．
14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
15．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．菱形一条对角线平分一组对角
C．有两个角是直角，有一组对边平行的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=12BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．
18．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，过点C作DA的平行线CE，且CE＝CD，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当△ABC满足 时，四边形ADCE是正方形．请说明理由．
20．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：FC＝BD；
（2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由．
21．已知：如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当∠A＝ °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
23．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？（不用证明）
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
25．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．
观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为 ；
（2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为 ；
（3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为 ；
探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？
26．如图，正方形ABCD中，AB＝32，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
27．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
28．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．
29．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
题型1 正方形的性质
题型2 正方形的判定
题型3 正方形的判定与性质
解｜题｜知｜识
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
解｜题｜知｜识
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
解｜题｜知｜识
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．