初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 二次函数与一元二次方程优秀导学案

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考 点 演 练
题型1 抛物线与x轴的交点
【典例1】已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0
B．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）
C．方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根
D．2a2+b+c＜0
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b＝﹣2a，抛物线有最大值3，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣2，0），即B选项错误；
∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即c＞0，
∵抛物线有最大值3，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，所以A选项错误；
∵抛物线有最大值3，
∴ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，即C选项正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a2+b+c＝2a2﹣2a+c．
∵a＜0，
∴2a2＞0，﹣2a＞0，
又c＞0，
∴2a2+b+c＞0，故D选项错误．
故选：C．
【变式1】对于二次函数y=−14x2+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．图象与x轴有两个交点
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．当x＝2时，y有最大值﹣3
【答案】D
【解答】解：∵y=−14x2+x﹣4=−14（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
∵a=−14＜0，
当x＝2时，y有最大值﹣3，当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线与x轴没有公共点．
故选：D．
【变式2】抛物线y＝x2+mx+1与x轴有一个公共点，且交于负半轴，则m的值为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+1与x轴有一个公共点，
∴判别式Δ＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4＝0，
∴m2＝4，即m＝±2．
又∵交于负半轴，即切点横坐标x=−m2＜0，
∴m＞0，
∴m＝2．
故选：A．
【变式3】四位同学研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与性质时，甲发现当x＝2时，y＝2；乙发现函数的最大值是4；丙发现x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根；丁发现函数图象关于直线x＝1对称．已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解答】解：当x＝2时，y＝2，则2＝4a+2b+3，解得4a+2b＝﹣1①；
函数的最大值是4，故c−b24a=4，故b2＝﹣4a且a＜0②；
x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根，则a﹣b+3＝0，即a﹣b＝﹣3③；
图象关于直线x＝1对称，则x=−b2a=1，即b＝﹣2a④．
假设当甲不对时，联立②和④并解得a＝﹣1，b＝2，
当a＝﹣1，b＝2时，a﹣b＝﹣3，故③成立，
故假设成立；
故选：A．
题型2 图象法求一元二次方程的近似根
【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（ ）
A．﹣7.21＜x＜﹣7.20B．﹣7.20＜x＜﹣7.19
C．﹣7.19＜x＜﹣7.18D．﹣7.18＜x＜﹣7.17
【答案】B
【解答】解：∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，
∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19．
故选：B．
【变式1】由如表估算一元二次方程ax2+bx＝13（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
A．1.2＜x1＜1.3B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5D．1.5＜x1＜1.6
【答案】C
【解答】解：由表格可得，
当x＝1.4时，y＝12.76；当x＝1.5时，y＝13.25；
∴一元二次方程ax2+bx＝13（a≠0）的一个近似解x1的范围为1.4＜x1＜1.5，
故选：C．
【变式2】如图，以（1，﹣3）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．4＜x＜5B．3＜x＜4C．2＜x＜3D．5＜x＜6
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣3），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：A．
【变式3】根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
【答案】C
【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．
所以解的整数部分是1，十分位是1．
故选：C．
题型3 二次函数与不等式（组）
【典例1】如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
【答案】D
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5，
故选：D．
【变式1】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．0＜x＜2D．x＜0或x＞2
【答案】D
【解答】解：由图可知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝1，与y轴的交点坐标为（0，3），
由二次函数图象的对称性可知，点（2，3）也在函数y＝ax2+bx+c的图象上，
由图可知，当x＜0或x＞2时，对应的y值小于3，
因此ax2+bx+c＜3的解集为：x＜0或x＞2．
故选：D．
【变式2】抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且过（﹣1，0），下列结论：
①若抛物线过点（3，0），则b+2a＝0；
②若b＝﹣4a，则不等式ax2+bx+c＜c的解为0＜x＜5；
③若3a＜c，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两点，则﹣2＜x2＜x1时y1＞y2；
④若抛物线过点（m，0），且m＞3，则抛物线的顶点一定在y＝﹣4a的下方．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且过（﹣1，0），则：
①∵抛物线过（﹣1，0）和（3，0），
∴对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，
∴b+2a＝0，故①正确；
②∵b＝﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴抛物线过（0，c）和（4，c），
∴不等式ax2+bx+c＜c的解为0＜x＜4，故②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a，
∵3a＜c，
∴3a＜b﹣a，
∴b＞4a，
∴−b2a＜−2，
∴抛物线对称轴在直线x＝﹣2左边，
∵﹣2＜x2＜x1，
∴y1＞y2，故③正确；
④∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣m），
∴抛物线的顶点坐标为(m−12，−a(m+1)24)，
∵m＞3，
∴−a(m+1)24＜−4a，
∴抛物线的顶点一定在y＝﹣4a的下方，故④正确．
故选：C．
【变式3】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＞0），a+b+c＝1．下列四个结论：①过定点（1，1）；②关于x的方程ax2+bx+c＝m（m＞1）有两个不相等的实数根；③直线y＝kx+1﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c交于点（﹣1，3），关于x的不等式ax2+（b+1）x+c＞2的解集是﹣1＜x＜1；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，当x1＜x2＜1时，y1＞y2，则0＜c＜a．其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＞0），a+b+c＝1．
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝1，故抛物线过定点（1，1），故①正确；
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线过定点（1，1），
∴函数的最小值y≤1，
∵m＞1，
∴方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，故②正确；
∵直线y＝kx+1﹣k过点（﹣1，3），
∴3＝﹣k+1﹣k，
解得：k＝﹣1，
∴直线为y＝﹣x+2，
由题意可得：a﹣b+c＝3，
与a+b+c＝1联立，
解得：b＝﹣1，a+c＝2，
不等式ax2+（b+1）x+c＞2化为ax2+c＞2，
代入c＝2﹣a，得ax2+2﹣a＞2，
即a（x2﹣1）＞0，
∵a＞0，
∴x2﹣1＞0，
解得x＜﹣1或x＞1，与结论解集﹣1＜x＜1矛盾，故③错误；
∵x1＜x2＜1时，y1＞y2，且a＞0，
∴抛物线在x＜1时y随x的增大而减小，
∴对称轴x=−b2a≥1，即b≤﹣2a，
∵a+b+c＝1，
∴c＝1﹣a﹣b，
∴c≥1﹣a﹣（﹣2a），
即c≥1+a，
∴c＞a，与结论0＜c＜a矛盾，故④错误．
故选：B．
过 关 验 收
1．已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3
【答案】B
【解答】解：∵与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
2．若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
【答案】C
【解答】解：当k≠0时，由二次函数与x轴有交点，可得
kx2﹣6x+3＝0有实根．
即b2﹣4ac＝36﹣12k≥0，
解不等式，得k≤3．
当k＝0时，函数是一次函数，与x轴交于（12，0），满足题意．
所以k的取值范围为：k≤3．
故选：C．
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①b＜0；②4ac﹣b2＜0；③a﹣b+c＜0；④3a＞﹣c；⑤ak2+bk≤a﹣b（k为任意实数）；⑥若（﹣3，y1），（1，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确结论的是（ ）
A．①②③⑥B．①②④⑤C．①②③④⑤⑥D．①②⑤
【答案】D
【解答】解：由图象可得，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线对称轴为x=−b2a=−1，
∴b＝2a＜0，故①正确．
该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确．
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故③错误．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴a+2a+c＜0，
∴3a＜﹣c，故④错误．
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最大值，
∴ak2+bk+c≤a﹣b+c，即ak2+bk≤a﹣b（k为任意实数），故⑤正确．
∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|1﹣（﹣1）|＝2，
∴点（﹣3，y1），（1，y2）关于抛物线对称轴为直线x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故⑥错误．
综上所述，正确的是①②⑤．
故选：D．
4．抛物线y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则它与x轴的另外一个交点的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（2，0）D．（0，1）
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=−2a2a=−1，且抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）．
故选：A．
5．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限
B．有最小值﹣8
C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）
D．图象开口向下
【答案】C
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意知
9a−3b+c=16c=−59a+3b+c=−8，
解得a=1b=−4c=−5，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数的图象开口向上，顶点为（2，﹣9），
∴顶点在第四象限，函数有最小值﹣9，
令y＝0，则（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x＝5或x＝﹣1，
∴图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）和（5，0），
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列结论①abc＞0，②b2﹣4ac＞0，③2a+b＝0，④3a+2c＜0中，其中错误结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，故a＜0；对称轴为直线x＝﹣1，故−b2a=−1，即b＝2a；抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；抛物线与x轴的一个交点为（1，0），故a+b+c＝0．
对于①，a＜0，b＝2a＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确；
对于②，抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故②正确；
对于③，2a+b＝4a＜0，故③错误；
对于④，a+b+c＝0，b＝2a，则3a+c＝0，可得c＝﹣3a，因此3a+2c＝﹣3a＞0，故④错误．
∴一共有2个错误结论．
故选：B．
7．抛物线y＝ax2+4ax﹣5经过A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为直线x=−4a2a=−2，与y轴交点坐标为（0，﹣5），
∵该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，
∴a＞0．
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5经过A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）三点，
∴y2＜y1＜y3．
故选：A．
8．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3且k≠0B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k＜3
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k•3≥0，
∴k≤3且k≠0．
故选：A．
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
②函数的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，所以当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
故②正确；
③当y＝0时，有一根在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，抛物线对称轴为x＝﹣1，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当x＝1时，函数值小于0，则a+b+c＜0，
故③正确；
④抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根时，
∴抛物线y＝a（x+1）2+2﹣m顶点在x轴下方，
∴2﹣m＜0，m＞2，
故④正确，
所以正确的选项有②③④，
故选：C．
10．二次函数y＝2x2﹣3x+□的图象与x轴有两个交点，则“□”表示的数可以是（ ）
A．1B．98C．2D．3
【答案】A
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程2x2﹣3x+□＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×□＞0，
解得，□＜98．
故选：A．
11．关于二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝﹣1
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．图象与x轴没有交点
D．顶点坐标为（﹣1，4）
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，故选项A正确，不符合题意；
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确，不符合题意；
当y＝0时，可得x1＝1，x2＝﹣3，故选项C错误，符合题意；
该函数的顶点坐标为（﹣1，4），故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
12．抛物线y＝﹣x2+ax+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的方程﹣x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6≤t＜7B．t＜7C．﹣2≤t＜6D．﹣2＜t≤7
【答案】D
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=−a2×(−1)=2，
∴a＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+3，
当x＝2时，y＝﹣4+8+3＝7，则抛物线的顶点坐标为（2，7），
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4+3＝﹣2；
当x＝3时，y＝﹣9+12+3＝6，
如图，
∵关于x的方程﹣x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，
∴抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点，
根据图象，当﹣2＜t≤7时，抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点，
所以t的取值范围为﹣2＜t≤7．
故选：D．
13．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解答】解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.02与y＝0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．
故选：C．
14．如图是抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分．抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y1＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点．下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＞y1．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③⑤D．②④⑤
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=1=−b2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），故④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B（4，0），
∴当1＜x＜4时，y2＞y1，故⑤正确，
综上可知：②③⑤正确，
故选：C．
15．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ．
【答案】﹣2＜x＜3．
【解答】解：由图象可知不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣2＜x＜3，
故答案为：﹣2＜x＜3．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＞0；②当﹣3≤x≤2时，mx+n≥ax2+bx+c；③a﹣b+c＜0；④3a+c＞0．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】②③
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与一次函数y＝mx+n的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，
∴当﹣3≤x≤2时，mx+n≥ax2+bx+c，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∵b＝2a，
∴9a﹣6a+c＜0，
即3a+c＜0，所以④错误．
故答案为：②③．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，c），下列五个结论：
①若c＝1，则抛物线经过点（0，1）；
②抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；
③若c＝a，则抛物线与x轴有且只有一个公共点；
④点A（1，yA），B（m，yB），C（4，yC）在抛物线上，且yA＜yB＜yC，则1＜m＜4；
⑤若a＝﹣1，关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集恰好有5个整数解，则3＜c≤8．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②③⑤．
【解答】解：若c＝1，则抛物线为y＝ax2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
∴若c＝1，则抛物线经过点（0，1），故①正确；
当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，c），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，c），
∴抛物线的对称轴为直线x=0−22=−1，故②正确；
∴x=−b2a=−1，即b＝2a，
若c＝a，则抛物线y＝ax2+2ax+a＝a（x+1）2，
∴抛物线与x轴有且只有一个公共点（﹣1，0），故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（1，yA），C（4，yC）在对称轴的右侧，
∵yA＜yC，
∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
若点B（m，yB）在对称轴右侧，
∵yA＜yB＜yC，
∴1＜m＜4，
若点B（m，yB）在对称轴左侧，点A（1，yA）关于对称轴的对称点为（﹣3，yA），C（4，yC）关于对称轴的对称点为C（﹣6，yC），
∵yA＜yB＜yC，
∴﹣6＜m＜﹣3，
∴1＜m＜4或﹣6＜m＜﹣3，故④错误；
若a＝﹣1，则b＝2a＝﹣2，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+c＝﹣（x+1）2+c+1，开口向下，最大值为c+1，
∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集恰好有5个整数解，
∴这5个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴当x＝1时，y＞0，当x＝2时，y≤0，
即 −1−2+c＞0−4−4+c≤0，解得3＜c≤8，故⑤正确．
综上，正确的有 ①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根： ；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集： ；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： ．
【答案】（1）1和3；（2）x＜1或x＞3；（3）x＞2；（4）k＜2．
【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，
则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3，
故答案为：1和3；
（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＞2．
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
故答案为：k＜2．
19．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，a＝ ，b＝ ．
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；
（4）探究与应用：
①若关于x的方程ax2+b|x|＝t有两个实数根，则t的取值范围是 ；
②结合图象，直接写出关于x的不等式ax2+b|x|＞x解集．
【答案】（1）1；﹣4；
（2）作图见解答过程；
（3）函数图象关于y轴对称；函数最小值为y＝﹣4；当x＜﹣2或0＜x＜2时，函数y随x的增大而减小；
（4）x＜﹣3或x＞5．
【解答】解（1）把（﹣4，0），（1，﹣3）代入y＝ax2+b|x|得：
0=16a+4b−3=a+b，
解得：a=1b=−4；
故答案为：1；﹣4；
（2）描点画图象如图1：
（3）函数图象关于y轴对称；函数最小值为y＝﹣4；当x＜﹣2或0＜x＜2时，函数y随x的增大而减小；
（4）①观察图象可知，当t＞0或t＝﹣4时，x的方程ax2+b|x|＝t有两个实数根，
故答案为：t＞0或t＝﹣4；
②x＜﹣3或x＞5，理由如下：
当x≤0时，令x2+4x＝x，解得x1＝0，x2＝﹣3
当x＞0时，令x2﹣4x＝x，解得x1＝0（舍去），x2＝5．
∴直线y＝x与函数y＝ax2+b|x|的图象交点横坐标为﹣3，0，5；
如图2：
可得当x＜﹣3或x＞5时，ax2+b|x|＞x．
20．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集．
【答案】（1）m=−2b=2；
（2）B（﹣1，3），不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为：x＜﹣1或x＞2．
【解答】解：（1）由题意得：4+2m=0−2+b=0，
解得：m=−2b=2；
（2）解x2−2x=y−x+2=y，
解得：x=−1y=3，或x=2y=0，
∴B（﹣1，3），
由图象得：不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为：x＜﹣1或x＞2．
21．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．
（1）直接写出m＝ ，b＝ ，点B的坐标是 ；
（2）结合图象，直接写出关于x的不等式x2+mx＞﹣x+b的解集是 ；
（3）若在抛物线上总存在两个不同的点M（d，c），N（n，c），直接写出c的取值范围．
【答案】（1）﹣2，2，（﹣1，3）；
（2）x＜﹣1或x＞2；
（3）c＞﹣1．
【解答】解：（1）由题意，将A（2，0）代入抛物线y＝x2+mx得：4+2m＝0．
∴m＝﹣2，
又将点A（2，0）代入直线y＝﹣x+b，
∴﹣2+b＝0．
∴b＝2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x，直线的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组y=x2−2xy=−x+2，
∴x=2y=0或x=−1y=3，
∴B（﹣1，3）．
故答案为：﹣2，2，（﹣1，3）；
（2）结合函数图象可知：
当x2+mx＞﹣x+b时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴x＜﹣1或x＞2．
∴关于x的不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2；
（3）y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴顶点为（1，﹣1），
∴在抛物线上总存在两个不同的点M（d，c），N（n，c）可理解为抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝c始终有两个不同的交点，
∴结合图象可得，c＞﹣1．
22．在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．
（1）画出该函数的图象；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围；
（3）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集．
【答案】（1）；
（2）0＜x＜2；
（3）1＜x＜2．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴是直线x＝1．
又令y＝（x﹣1）2﹣1＝0，则x＝0或x＝2，
∴与x轴的交点为（0，0），B（2，0）．
∴作图如下．
（2）结合（1）的函数图象，∵图象与x轴的交点为（0，0），B（2，0），且抛物线开口向上，
∴当y＜0时，0＜x＜2．
（3）由题意，∵不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集就是直线y＝kx+b的图象在函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象上方的自变量的取值范围，
∴结合图象可得，1＜x＜2．
23．已知函数y＝mx2+4mx+3，m＞0．
（1）当m＝1时，求不等式y≤0的解集；
（2）求不等式y≤0的解集；
（3）若不等式y≤0的解集中恰有三个整数解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）﹣3≤x≤﹣1；
（2）当0＜m＜34时，不等式无解；当m=34时，不等式的解集为x＝﹣2；当m＞34时，不等式的解集为−2−4m2−3mm≤x≤−2+4m2−3mm；
（3）m≥1．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3），
∴方程x2+4x+3＝0的根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴不等式y≤0的解集为﹣3≤x≤﹣1；
（2）由题意得mx2+4mx+3≤0，对应一元二次方程mx2+4mx+3＝0，
∴Δ＝（4m）2﹣4×3m＝4m（4m﹣3），
①若Δ＞0，即m＞34，
此时方程mx2+4mx+3＝0的两根分别为x1=−2−4m2−3mm，x2=−2+4m2−3mm，
∴不等式y≤0的解集为−2−4m2−3mm≤x≤−2+4m2−3mm．
②若Δ＝0，即m=34，此时方程为34x2+3x+3=34(x+2)2=0，
∴当x＝﹣2时，不等式y≤0成立；
③若Δ＜0，即0＜m＜34，此时二次函数y＝mx2+4mx+3的图象在x轴上方，
不等式y≤0无解；
综上所述，当0＜m＜34时，不等式无解；
当m=34时，不等式的解集为x＝﹣2；
当m＞34时，不等式的解集为−2−4m2−3mm≤x≤−2+4m2−3mm．
（3）因为y＝mx2+4mx+3，m＞0，故抛物线的对称轴为x＝﹣2且开口向上，
∵不等式y≤0的解集中恰有三个整数解，
∴这三个整数解分别为﹣1，﹣2，﹣3，
∴m×(−2)2+4m×(−2)+3＜0m×02+4m×0+3＞0m×(−1)2+4m×(−1)+3≤0，
解得：m≥1．
题型1 抛物线与x轴的交点
题型2 图象法求一元二次方程的近似根
题型3 二次函数与不等式（组）
解｜题｜知｜识
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
解｜题｜知｜识
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
x
…
﹣7.21
﹣7.20
﹣7.19
﹣7.18
﹣7.17
…
y
…
﹣0.04
﹣0.03
0.01
0.02
0.03
…
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
ax2+bx
…
11.84
12.29
12.76
13.25
13.76
…
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2+px+q
﹣15
﹣8.75
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
解｜题｜知｜识
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
x
…
﹣3
0
3
5
…
y
…
16
﹣5
﹣8
0
…
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…