初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用优秀导学案

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考 点 演 练
题型1 由实际问题抽象出一元二次方程
【典例1】教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为14m），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留2m宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为32m，设苗圃ABCD的一边CD长为xm．
（1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边AD的长是 m；
（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
（3）苗圃ABCD的面积能否为110m2．若能，请求出x的值；否则请说明理由．
【变式1】某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为150元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．另外每星期的销售量不得低于140件．该商店要想每星期盈利4800元，滑板的售价应定为多少元？
（1）小明认为此题可间接设降价x元，请你帮小明写出完整的解题步骤．
（2）小华认为此题可直接设售价定为x元，请你帮小华列出方程（不用解）．
【变式2】为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
【变式3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 元；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件（用含x的代数式进行表示）；
（3）请列出方程，求出x的值．
题型2 一元二次方程的应用
【典例1】公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y．
①直接写出y关于x的函数关系式；
②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【变式1】某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
【变式2】如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【变式3】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
过 关 验 收
1天门市委市政府牢记习总书记“绿水青山就是金山银山”嘱托，2021年已投入3亿元资金用于环境改造与建设，并规划投入资金逐年增加，预计到2023年底，将累计投入资金10.5亿元用于环境改造与建设．
（1）求到2023年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
2．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ．
（2）请写出一种完整的解答过程．
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数．
（2）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？
（3）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少？
4．一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．
5．水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售．
（1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 斤．
（2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？
6．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
7．“杂交水稻之父”﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
8．信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶叶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩．
（1）求该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率；
（2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？
9．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）；
（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ；
（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
10．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm．
（1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽；
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
11．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
12．某小区业委员会决定把长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m．预计划活动区造价60元m2，绿化区造价50元m2．设绿化区域较长直角边为xm．
（1）用含x的代数式表示出口区的宽度为 m，绿化区总造价为 元，活动区总造价为 元；
（2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能．请说明理由？
（3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．
13．景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价．
14．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“已”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红.
根据上述素材，解决任务1、任务2的问题．
15．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
16．面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况：
（1）求该款车销量的月平均增长率．
（2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？
17．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；
（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加23，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
18．今年秋冬季是流感的感染高发期，如果外出时能够勤洗手、做好防护，可以有效遏制流感病毒的传染．现在，有两个人患了流感，经过两轮传染后共有128人患了流感（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
19．交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
20．某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为x（20≤x≤30）元．
（1）用含x的代数式表示该书店每天销售精品图书 本；
（2）若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价x的值；
（3）该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价x的值；若不能，请说明理由．
21．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
（1）求商家购买A书籍和B书籍的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
22．根据以下素材，探索完成任务：
23．如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长16cm，宽10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的70%，求应设置的页边距．
24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
25．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
26．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
27．社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为880m2．求道路的宽是多少米？
28．青岛作为沿海旅游城市，海洋文创产品很受欢迎．某商家通过线上平台销售青岛特色海洋文创摆件，经过一段时间发现：当每个摆件售价是40元时，每天可售出该摆件60个，且售价每降低1元，就会多售出3个，设该海洋文创摆件每个的售价为x（元/件）（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x的代数式表示每天能售出该海洋文创摆件的个数为 ；
（2）已知每个海洋文创摆件的制作成本是20元，每天销售该海洋文创摆件的纯利润为900元．
①求该海洋文创摆件每个的售价．
②为了助力青岛海洋环保，商家决定每销售一个该海洋文创摆件便通过线上平台自动向海洋环保组织捐款0.5元，求商家每天通过销售该海洋文创摆件捐款的数额．
29．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
30．湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个16元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？
31．某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如表：
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）小澎同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由．
题型1 由实际问题抽象出一元二次方程
题型2 一元二次方程的应用
解｜题｜知｜识
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
解｜题｜知｜识
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
素材1
据统计，某电商平台2024年12月份“已升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件．
素材2
某实体店“已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．
素材3
经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．
问题解决
任务1
（1）确定增长率
若月平均增长率相同，求月平均增长率．
任务2
（2）确定销售价格
若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？
月份
7月
9月
销量/万辆
2.5
3.6
背景
今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1
某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2
随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m2，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm，22cm．
素材3
已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1
求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率；
任务2
根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长；
任务3
根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价．
x
…
9
10
11
12
…
y
…
33
30
27
24
…