初中第二章 一元二次方程2 一元二次方程的解法优秀第3课时学案

这是一份初中第二章 一元二次方程2 一元二次方程的解法优秀第3课时学案，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，归纳总结，典例精析，要点归纳等内容，欢迎下载使用。
第3课时 公式法
【学习目标】
1. 经历求根公式的推导过程.
2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3. 理解并会求一元二次方程根的判别式.
4. 会用判别式判断一元二次方程根的情况.
学习重点：经历求根公式的推导过程.
学习难点：会用公式法解简单系数的一元二次方程.
【复习导入】
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ?

【合作探究】
探究点1：用公式法解一元二次方程
合作探究
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多.
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 吗？
【归纳总结】
求根公式：______________
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
注意：用公式法解一元二次方程的前提是：
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
【典例精析】
例1 解方程.
（1）x2 -7x -18 = 0 （2）4x2 + 1 = 4x.
【要点归纳】
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根.
探究点2：一元二次方程根的判别式
尝试·思考
(1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？
(2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 - 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
归纳总结：
因此把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，
即Δ= b2－4ac.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2－4ac 来判定。我们把 b2－4ac 叫作一元二次方程 aax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。
练一练 按要求完成下列表格.
【典例精析】
例2 若关于x的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
a. k＞-1 b. k＞-1且 k ≠ 0
c. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0
练一练
1.不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9；
(3) 7y = 5(y2 + 1).
2.用公式法解下列方程：
(1) x2 − 4x − 7 = 0； (2) 2x2 − 22x + 1 = 0；

(3) 5x2－3x = x + 1； (4) x2+ 17 = 8x.



当堂反馈
1.一元二次方程x2－5x＋4＝0根的判别式的值是( )
A.21B.16C.9D.1
2.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是( )
A.2x2－6x＋1＝0B.3x2－x－5＝0
C.x2＋x＝0D.x2－4x＋4＝0
4.若方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
5.用公式法解下列方程：
(1)x2－5x－6＝0；
书写通关
解：a＝ ，b＝ ，c＝ .
∵Δ＝ ＞0，
∴x＝ .
即x1＝ ，x2＝ .
(2)x2－32x＋4＝0；
(3)16x2＋8x＝3；
(4)4x(x－1)＝－3.
参考答案
【合作探究】
探究点1：用公式法解一元二次方程
解：方程两边都除以 a，得
配方，得
移项，得
例题精析
例1
（1）解：这里 a = 1，b = －7，c = －18，
因为 b2－4ac = (－7)2－4×1×(－18) = 121＞0.
所以
即 x1 = 9，x2 = －2.
（2）解：将原方程化为一般式：4x2 - 4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1，
因为 b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0.
所以
即
探究点2：一元二次方程根的判别式
尝试·思考(1) 将方程转化为 (x - 1)2 = -2，原方程无实数根.
(2) 当 b2 - 4ac＜0 时，
∴ 此时方程无实数根.
填一填
典例精析
例2 解析：由题知，方程有两个不相等的实数根，
则b2－ 4ac＞0，同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2 + 4k＞0，k≠0. 解得k＞-1且k≠0，故选B.
练一练1. 解：（1)这里a=3，b=4，c=-3。
因为 b²－4ac= 3²－4×3×(－3)=52>0，
所以方程有两个不相等的实数根
(2)将原方程化为一般形式，得4－12x+9=0，
因为 b²－4ac =(－12)²－4×4×9 = 0，
所以方程有两个相等的实数根。
(3) 将原方程化为一般形式，得 5y2 - 7y + 5 = 0。
因为 b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0.
所以方程无实数根．
2.(1) 解：这里 a = 1，b = −4，c = −7。
因为 b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
所以
即
(2) 解：这里 a = 2，b = − 22 ，c = 1。
因为 b2－4ac = (− 22 )2－4×2×1 = 0，
所以
即x1 = x2 = 。
(3) 解： 将原方程化为一般形式，得 5x2－4x－1 = 0。
这里 a = 5，b = －4，c = －1。
因为 b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
所以
即
(4) 解：将原方程化为一般形式，得 x2－8x + 17 = 0。
这里 a = 1，b = −8，c = 17。
因为 b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0。
所以方程没有实数根。
当堂反馈
1. C
2. B
3.D
4. k＜4 .
5.(1)
解：a＝ 1 ，b＝ －5 ，c＝ －6 .
∵Δ＝ (－5)2－4×1×(－6)＝49 ＞0，
∴x＝ 5±492×1 .
即x1＝ 6 ，x2＝ －1 .
(2)解：x1＝22，x2＝2.
(3) .解：x1＝14，x2＝－34.
(4)解：无实数根.
判别式的情况
根的情况
Δ的值
根的情况