初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质精品学案设计

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 解一元二次方程-配方法
【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝3B．（x﹣3）2＝6C．（x+3）2＝6D．（x﹣3）2＝12
【变式1】用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝6B．（x﹣2）2＝9C．（x+1）2＝6D．（x+2）2＝9
【变式2】一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝3
【变式3】阅读下列关于解方程：3x2﹣6x﹣3＝0的解题过程，解决下列问题．
（1）上述解题过程有误，错在步骤 （填序号），错误的原因是 ．
（2）请你写出正确的解答过程．
题型2 解一元二次方程-公式法
【典例1】在用求根公式x=−b±b2−4ac2a求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到x=3±(−3)2−4×2×(−1)2×2，则她求解的一元二次方程是（ ）
A．2x2+3x﹣1＝0B．2x2﹣3x﹣1＝0
C．﹣2x2﹣3x+1＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0
【变式1】观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（ ）
A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9
【变式2】用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
【变式3】（1）计算：|3−1|−3tan30°+(3.14−π)0+(12)−1；
（2）解方程：3x2−6x−1=0．
题型3 解一元二次方程-因式分解法
【典例1】一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
【变式1】菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（ ）
A．10B．8C．6D．5
【变式2】一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 ．
【变式3】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 ．
题型4 根的判别式
【典例1】若关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，且关于y的分式方程ay−2+y−12−y=−3的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
【变式1】若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
【变式2】一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
题型5 根与系数的关系
【典例1】关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝2，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣3或3D．﹣1或3
【变式1】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m满足a(m+1)2+b(m+1)+c=0，则m−1的值是（ ）
A．2或﹣8B．3或﹣5C．2D．﹣8
【变式2】如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（ ）
A．m＝0B．m＝﹣1
C．m＝1D．以上结论都不对
【变式3】请阅读下列材料：
已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x=y2，
把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−3＝0．
化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．
过 关 验 收
用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，配方后得到的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝35B．（x﹣6）2＝37C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝8
用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．(x−14)2=34B．(x−14)2=32
C．(x−12)2=34D．(x−12)2=32
方程x2﹣6x+9＝0的解是 ．
在用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，小颖的解法如下：
（1）小颖的解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB长为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（ ）
A．DF的长B．BE的长C．DE的长D．BD的长
定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ）
A．0或2B．0或2C．2或2D．0或2或2
对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{﹣1，3}＝3．
（1）方程x2﹣2x＝max{0，﹣1}的解为 ；
（2）方程max{2x+8，﹣x}＝x2的解为 ．
用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x+3＝0；
（2）x2﹣3x＝2x﹣6．
解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x+1x−1−4x2−1=1．
用适当方法解下列方程：
（1）x2﹣8x+12＝0；
（2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）．
（1）求不等式组：x＜2x+2①3x+12≤4x+33②的所有整数解．
（2）解一元二次方程：2x2+1＝3x．
（1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0；
（2）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≤1B．a≤1且a≠0C．a≥﹣1且a≠0D．a≥1
若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④B．只有①②④⑤C．①②③④⑤D．只有①②③
问题“解方程x2﹣3x+3＝0”，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2﹣4ac＜0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对B．琪琪说得对
C．珍珍说得对D．三名同学说法都不对
已知关于x的方程x2+5x+1＝0的两个根是α，β，则（α+1）（β+1）＝ ．
已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则1a+1b等于 ．题型1 解一元二次方程-配方法
题型2 解一元二次方程-公式法
题型3 解一元二次方程-因式分解法
题型4 根的判别式
题型5 根与系数的关系
解｜题｜知｜识
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
解：移项得，3x2﹣6x＝3①两边同时除以3得，x2﹣2x＝3②
配方得，x2﹣2x+1＝4③即（x﹣1）2＝4
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2④
x1＝3，x2＝﹣1⑤
解｜题｜知｜识
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
解｜题｜知｜识
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
解｜题｜知｜识
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
解｜题｜知｜识
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
第一步：移项，得x2﹣2x＝1．
第二步：配方，得x2﹣2x+22＝1+22，
即（x﹣2）2＝5．
第三步：两边开平方，得x−2=±5，
第四步：所以，x1=2+5，x2=2−5．