数学第二章 一元二次方程2 一元二次方程的解法优质第4课时导学案及答案

这是一份数学第二章 一元二次方程2 一元二次方程的解法优质第4课时导学案及答案，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，典例精析等内容，欢迎下载使用。
第4课时 因式分解法
【学习目标】
1. 掌握三角形的定义、基本要素(边、角、顶点)及表示方法.
2. 理解三角形的分类标准(按角分:锐角、直角、钝角三角形；按边分:等边、底边和腰不相等的等腰、不等边三角形).
3. 经历从具体到抽象的数学思维过程,体会数学的严谨性,感受几何图形的对称性与美感.
学习重点：三角形的定义、基本要素(边、角、顶点)及表示方法.
学习难点：理解三角形的分类标准.
【复习导入】
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x － 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x － 1 = 0 来解．
你能求出方程 (x + 3)(x － 5) = 0 的解吗？

【合作探究】
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t － 5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？
设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0，
于是可得方程 15t － 5t² = 0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
小颖：由方程 15t － 5t² = 0，得 5t² － 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
小明：由方程 15t － 5t² = 0，得 5t² = 15t，
两边都约去 5t，得 t = 3。
小亮： 由方程 15t－5t² = 0，得 5t² － 15t = 0， 即 5t(t － 3) = 0，
于是 t = 0，或 t － 3 = 0。所以 t1 = 0，t2 = 3。


定义总结：
因式分解法的概念
当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.
【典例精析】
例1 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x－ 2) = x－2.
练一练 1.解下列方程：
(1)(x+1)2=5x+5； (2)x2－6x+9=(5－2x)2．
拓展提升：十字相乘法
运算法则：x2 + (p + q)x + pq= (x + p)(x + q)
条件：1. 多项式为二次三项式；
2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的和等于一次项系数.
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
典例精析
例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0.
练一练 2.解方程： x2+4x－5=0；
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
操作·思考
解下列方程： x2 － 4 = 0，(x + 1)2 － 25 = 0，x2 + 2x － 3 = 0，x2 － 6x + 8 = 0。
【典例精析】
例2 用适当的方法解方程：
3x(x+5)=5(x+5)； (2) (5x+1)2=1；
(3) x2－12x=4； (4) 3x2 = 4x + 1.
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.


当堂反馈
1.已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－3，则这个方程可以是( )
A.(x－1)(x－3)＝0
B.(x－1)(x＋3)＝0
C.(x＋1)(x＋3)＝0
D.(x＋1)(x－3)＝0
2.方程x2＝－6x的根是( )
A.x1＝0，x2＝－6B.x1＝0，x2＝6
C.x＝6D.x＝0
3.用因式分解法解下列方程：
(1)3y2－6y＝0；
书写通关
解：因式分解，得 .
∴ .
解得y1＝ ，y2＝ .
(2)x(x＋1)＝2x2； (3)(2x－1)2＝(x＋3)2.
4.选用合适的方法解下列方程：
(1)(2x－1)2＝9；
(2)x2＋4x－1＝0；
解法一：(配方法)
解法二：(公式法)
(3)x2－9＝2x＋6.
参考答案
【合作探究】
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
【典例精析】
例1
解：(1) 原方程可变形为5x2 － 4x = 0，x(5x － 4) = 0.
x = 0 或 5x － 4 = 0.∴ x1 = 0，x2 = 45 .
(2) 原方程可变形为 x(x － 2) － (x － 2) = 0.
(x － 2)(x － 1) = 0.x － 2 = 0 或 x － 1 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 1.
练一练 1.解：(1)∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2－5(x+1)=0，则(x+1)(x－4)=0，
∴x+1=0，或x－4=0，即x1=4，x2=－1．
(2)方程整理得(x－3)2－(5－2x)2=0，则[(x－3)+(5－2x)][(x－3)－(5－2x)]=0，
(2 − x)(3x − 8) = 0，∴2－x=0，或3x－8=0，
典例精析
例2 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0，
即 x1 = 2，x2 = 3.
练一练 分解因式，得(x+5)(x－1)=0，解得x1=－5，x2=1；
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
操作·思考
1.法一：因式分解法解 x2 － 4 = 0
解： x2 － 4 = 0 可变形为 (x + 2)(x － 2) = 0.x + 2 = 0 或 x － 2 = 0.
∴ x1 = －2，x2 = 2 .
法二：直接开方法解 x2 － 4 = 0
解：移项，得 x2 = 4. 直接开平方，得 x =±2. ∴ x1 = －2，x2 = 2.
2.法一：因式分解法
解：分解因式，得[(x + 1) + 5][(x + 1) － 5] = 0.
(x + 6)(x － 4) = 0. x + 6 = 0 或 x － 4 = 0.
∴ x1 = －6，x2 = 4.
法二：直接开方法
解：移项，得 (x + 1)2 = 25. 直接开平方，得 x + 1 = ±5
x + 1 = －5或x + 1 = 5∴ x1 = －6，x2 = 4.
3.法一：解：分解因式，得(x + 3)(x － 1) = 0.x + 3 = 0 或 x － 1 = 0.
∴ x1 = －3，x2 = 1.
法二：配方法
解：移项，得 x2 + 2x = 3.配方，得 (x + 1)2 = 4.由此可得x + 1 = ±2，
∴ x1 = －3，x2 = 1.
4.法一：因式分解法
解：分解因式，得(x － 2)(x － 4) = 0.x － 2 = 0 或 x － 4 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 4.
法二：公式法
解：这里 a = 1，b = −6，c = 1. ∵ b2－4ac = (−6)2 －4×1×8 = 4.
【典例精析】
例2 解：（1）化简 (3x － 5) (x + 5) = 0.即 3x －5 = 0 或 x + 5 = 0.
开平方,得5x + 1 = ±1.
配方，得x2 － 12x + 62 = 4 + 62,即 (x － 6)2 = 40.开平方，得
解：化为一般形式3x2－4x－1 = 0. ∵Δ=b2 － 4ac = 28 > 0,
.
当堂反馈
1.B 2.A
3.(1)
解：因式分解，得 3y(y－2)＝0 .
∴ 3y＝0或y－2＝0 .
解得y1＝ 0 ，y2＝ 2 .
(2)解：移项，得x(x＋1)－2x2＝0，
因式分解，得x(x＋1－2x)＝0，
x(1－x)＝0，∴x＝0或1－x＝0，
解得x1＝0，x2＝1.
(3)解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0.
因式分解，得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0，
即(x－4)(3x＋2)＝0，
解得x1＝4，x2＝－23.
4.(1)解：x1＝2，x2＝－1.
(2)解法一：(配方法)
解：x1＝－2＋5，x2＝－2－5.
解法二：(公式法)
解：x1＝－2＋5，x2＝－2－5.
(3)解：x1＝－3，x2＝5.
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解