北师大版（2024）九年级上册（2024）2 一元二次方程的解法教案及反思

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）2 一元二次方程的解法教案及反思，共4页。教案主要包含了核心素养目标，教学重点及难点，教学过程，随堂练习，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解用因式分解法解一元二次方程的依据；
2.会用因式分解法解一元二次方程；
3.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
二、教学重点及难点
重点：掌握因式分解法解一元二次方程的方法与步骤，并能熟练求解对应方程.
难点：理解因式分解法的解题依据，能够根据方程特点灵活选择最优解法.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提出：我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？
学生回答：直接开平方法，配方法，公式法.
教师提出：什么是因式分解？
学生回答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫作因式分解.
教师提出：因式分解有哪些方法？完成下面的填空.
提公因式法：am＋bm＋cm＝ ；公式法：a2-b2＝ ，a2±2ab＋b2＝ ．
十字相乘法： .
学生自主完成填空，回顾因式分解的相关知识.
设计意图：回顾之前解一元二次方程的三种方法，再复习因式分解的定义与常用分解方法，夯实旧知基础，搭建新旧知识桥梁，为学习因式分解法解方程做好铺垫.
【新知导入】
一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t2.小球从弹出到落回地面，经过了几秒？
教师提出：设小球经过ts落回地面，此时h=0，可以得到怎样的一个方程？
学生回答：得到方程15t-5t2=0.
教师提出：你知道如何解此方程吗？
设计意图：沿用熟悉的小球运动实际情境列出特殊一元二次方程，抛出求解问题制造思考点，为后续学习做铺垫.
【探究新知】
教师通过ppt展示不同的解法，学生判断各方法的正误.
①：由方程15t-5t2=0，得5t2-15t=0.因此，t1=0，t2=3.
教师提问：该方法正确吗？
学生回答：正确，用的是公式法，是通用的方法.
②由方程15t-5t2=0，得5t2=15t.同时约去5t，得t=3
教师提问：该方法正确吗？
学生自由发言，教师对学生的发言进行反馈，总结观点.
该方法是错误的，约去t的时候必须保证t≠0，他的做法漏掉了根为0的情况.
③由方程15t-5t2=0，得5t2-15t=0.即5t(t–3)=0.
于是t=0，或t–3=0.因此t1=0，t2=3.
教师提问：该方法正确吗？
学生回答：正确，而且比方法①更简单.
通过上述探究，引出因式分解法，归纳相关概念，学生做笔记.
因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
设计意图：对比三种不同解题思路，辨析直接约去因式的易错误区，在对比中凸显因式分解法简便快捷的优势，顺势引出因式分解法的定义与适用前提，让学生清晰理解解法原理，规避常见计算漏洞.
例题练习：解下列方程：(1)5x2=4x；(2)x(x–2)=x–2.
选取两名学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.
解：(1)原方程可变形为5x2–4x=0，
x(5x–4)=0，
x=0，或5x–4=0.
x1=0，x2=.
(2)原方程可变形为x(x–2)–(x–2)=0，
(x–2)(x–1)=0.
x–2=0，或x–1=0.
x1=2，x2=1.
通过例题练习，归纳因式分解法解一元二次方程的步骤，学生做笔记
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1．移项：将方程的右边化为0；
2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解．
【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x-1)=x，若约去x，则会丢失x=0这个根．
设计意图：安排学生板演实操两道典型习题，教师统一订正规范格式，依托解题过程梳理因式分解法四步标准流程；特意强调切勿直接约去含未知数字式的易错点，让学生在实操中熟悉方法、规避丢根失误，扎实掌握因式分解法的解题规范与核心要点.
教师归纳几种常见的用因式分解法求解的方程.学生做笔记.
（1）形如x2+bx=0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0，则x=0或x+b=0，即x1=0，x2=-b.
（2）形如x2-a2=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0，则x+a=0或x-a=0，即x1=-a，x2=a.
（3）形如x2±2ax+a2=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)2=0，则①x+a=0，即x1=x2=-a.②x-a=0，即x1=x2=a.
（4）形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，将其左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0，所以x+a=0或x+b=0，即x1=-a，x2=-b.
设计意图：分类梳理四类适合因式分解法的典型方程模型，搭配对应的分解方式与结果，帮助学生建立题型识别思路，快速匹配提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等分解手段，形成系统化解题模板，提升快速判断、简便运算的能力.
学生同桌之间进行合作，用不同的方法解下列方程：x2–4=0，(x+1)2–25=0，x2+2x-3=0，x2+6x-8=0.
教师提出：你用了哪些方法求解这些方程？
学生同桌之间进行讨论并回答：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.
教师追问：回顾一元二次方程的各种解法，你对它们有什么理解？
学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的发言进行反馈，应用表格进行梳理归纳.
设计意图：通过同桌合作一题多解，让学生亲身实践四种解法，再以小组交流对比差异，借助表格系统梳理各类解法的原理、适用范围与共性降次思路，引导学生学会根据方程形式灵活挑选简便解法，打通多种解法之间的内在联系，完善一元二次方程解法知识体系.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.因式分解法求解一元二次方程；
2.一元二次方程不同解法的特点.
六、板书设计
因式分解法
基本思路
将二次方程化为一次方程，即降次
解一元二次方程的方法
直接开平方法
用平方根的意义直接进行降次
适用于部分一元二次方程
配方法
先配方，再用直接开平方法降次
适用于全部一元二次方程
公式法
直接利用求根公式
因式分解法
先使方程一边化为两个一次因式乘积的形式，另一边为0，根据“若ab=0，则a=0或b=0”来解
适用于部分一元二次方程