人教版（2024）九年级上册（2024）26.3 二次函数与一元二次方程优质导学案及答案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）26.3 二次函数与一元二次方程优质导学案及答案，共10页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 抛物线与x轴的交点
【典例1】若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
【变式1】如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2没有实数根；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】对于二次函数y=−14x2+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．图象与x轴有两个交点
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．当x＝2时，y有最大值﹣3
【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞−12，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤12．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4】已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）．
（1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
（2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值．
【变式5】已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【变式6】已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）．
（1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点；
（2）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标．
题型2 图象法求一元二次方程的近似根
【典例1】如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0B．0＜x＜1C．2＜x＜3D．3＜x＜4
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【变式2】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
A．1与2之间B．﹣2与﹣1之间
C．﹣1与0之间D．0与1之间
【变式3】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6
【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 ；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹；
（4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 ．
【变式5】某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中 m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|=12有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
【变式6】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 ．
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹．
过 关 验 收
已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A．﹣7.21＜x＜﹣7.20B．﹣7.20＜x＜﹣7.19
C．﹣7.19＜x＜﹣7.18D．﹣7.18＜x＜﹣7.17
如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 ．
若抛物线与x轴交于点（﹣2，0）和点（3，0），且可由抛物线y＝﹣x2平移得到，则该抛物线的函数表达式为 ．
已知二次函数y＝x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的根为 ．
如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），且其对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝ ．
已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是 ．
如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（﹣1，0），且抛物线对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标．
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜−203；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
小明利用二次函数的图象估计方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2﹣2x﹣2＝0必有一个实数根在（ ）
A．1.5和2之间B．2和2.5之间
C．2.5和3之间D．3和3.5之间
根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
根据下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26D．3.25＜x＜3.28
已知方程x2﹣2x﹣5＝0的一个近似解是﹣1.45，则这个方程的另一个近似解是 ．（精确到0.01）
根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 .（精确到0.01）
用图象法求方程x2−x+14=0的解．
已知：由函数y＝x2﹣2x﹣2的图象知道，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程x2﹣2x﹣2＝0有一个根在﹣1和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
题型1 抛物线与x轴的交点
题型2 图象法求一元二次方程的近似根
解｜题｜知｜识
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
解｜题｜知｜识
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
1
2
1
﹣2
﹣7
x
…
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
…
y
…
3
m
0
0.75
1
0.75
0
1.25
3
…
x
…
﹣7.21
﹣7.20
﹣7.19
﹣7.18
﹣7.17
…
y
…
﹣0.04
﹣0.03
0.01
0.02
0.03
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2﹣2x﹣2
﹣2.75
﹣2
﹣0.75
1
3.25
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2+px+q
﹣15
﹣8.75
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
x
1.63
1.64
1.65
1.66
…
x2+2x
5.9169
5.9696
6.0225
6.0756
…