初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 一元二次方程的解法优质第2课时导学案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 一元二次方程的解法优质第2课时导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
第2课时 一元二次方程的解及其估算
【学习目标】
1. 理解方程的解的概念.
2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3. 会估算一元二次方程的解.（难点）
学习重点：经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.
学习难点：会估算一元二次方程的解.
【复习导入】
问题1：一元二次方程有哪些特点？
问题2：一元二次方程的一般形式是什么？

【合作探究】
探究点1：一元二次方程的根
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
例1 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.
变式：已知a是方程 x2 + 2x－2=0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026的值.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.

探究点2：一元二次方程解的估算
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程(8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？
x可能小于0吗？说说你的理由．
x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.
（2）你能确定 x 的大致范围吗？
（3）填写下表：
（4）你知道地毯花边的宽 x (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．
尝试·思考
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是
x2 + 12x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？
底端滑动的距离可能是 2 m吗？可能是3 m吗？为什么？
(3) 你能猜出滑动距离x的大致范围吗？
(4) x的整数部分是几？十分位是几？
思考·交流
小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下：
可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5.
进一步计算：
所以 1.1＜x＜1.2，
因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1．
(1) 你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。
(2) 如果要把 x 的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。
【归纳总结】
规律方法 上述求解是利用了“区间逐步缩小法”的思想
用“区间逐步缩小法”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
例2 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）.
练一练
1.根据题意，列出方程，并估算方程的解：
一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？


当堂反馈
1.一元二次方程(x＋2)(x－1)＝0的根为( )
A.x＝－2B.x＝1
C.x＝－2或1D.x＝2或－1
2.若关于x的一元二次方程x2－x－m＝0的一个根是x＝1，则m的值是( )
A.1B.0C.－1D.2
3.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若4a－2b＋c＝0，则它的一个根是( )
A.－2B.－12C.－4D.2
4.[高频易错]若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋3x＋m2－4＝0有一根为0，则m＝ .
5.观察下表，确定一元二次方程x2－2x－2＝0的一个近似解的取值范围.
6.已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为2和3，求b与c的值.
7.[整体思想]已知x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个实数根，求2m(m－2)－5的值.
参考答案
【合作探究】
探究点1：一元二次方程的根
试一试：解：3 和 -2.
例1 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.
变式 解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.
∴2a2+4a+2026=2(a2+2a)+2026=2×2+2026=2030.
问题1：(1) 不能，因为 x 代表宽度，小于 0 不符合实际.
当 x > 4，不可能，5 - 2x < 0，边长无意义；
当 x > 2.5，不可能，5 - 2x < 0，地毯宽为负.
（2）8 - 2x＞0，5 - 2x＞0，
解得 x＜4，x＜2.5，所以 0＜x＜2.5
（3）
（4）x = 1
尝试·思考
(1) 不正确. 12 + 12×1 - 15 = -2
(2) 都不可能. 22 + 12×2 - 15 = 13；32 + 12×3 - 15 = 30
(3) x 表示宽度，所以 x 不可能小于 0；
思考·交流
(1)
1. 先通过较大步长确定根所在的大致区间 1< x