初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 一元二次方程的解法完美版课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 一元二次方程的解法完美版课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了x24，x20，思考·交流，直接开平方得，解移项得，x22，x±1，系数化为1得，x21，探究交流等内容，欢迎下载使用。
1. 会用直接开平方法解形如 (x + m)2＝n (n＞0)的方程.（重点）2. 理解配方法的基本思路.（难点）3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程.（重点）
在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精确值吗？
(1) 你能解哪些特殊的一元二次方程?
x2 + 1 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2.
解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解.
解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0.
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
(2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程，
(1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
(2) 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2 = 5， 2x2 + 3 = 5，
∴ x1 = 1，x2 = -1.
解析：先将 72 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解.
解：移项，得 (x + 6)2 = 51.
(x + 6)2 + 72 = 102，
两边开平方，得 x + 6 = ，
即 x + 6 = 或 x + 6 = .
所以 x1 = ， x2 = .
x2 + 2x + 1 = 5.
解：在解方程时，由方程 x2 = 5 得 .由此想到： (x + 1)2 = 5 ，
于是，原方程的两个根为
看成是一个整体，可以用直接开平方法求解.
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填.
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
【思考·交流】(3) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流.
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 12x = 15 ，
x1，x2 都符合原问题的要求吗？
当 n≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根.
两边都加 62，得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62，
即 (x + 6)2 = 51 .
因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根 x1 = ， x2 = .
(1) 填上适当的数或式，使下列各等式成立：
x2 + 12x + = ( x + 6)2；
x2 − 4x + = ( x − )2；
x2 + 8x + = ( x + )2；
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.
(2) 观察 (1) 中三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢?
二次项系数为 1 的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填：x2 + px + ( )2 = ( x + )2
例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0.
解：可以把常数项移到方程的右边，得x2 + 8x = 9 ， 两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得x2 + 8x + 42 = 9 + 42， 即 (x + 4)2 = 25 . 两边开平方，得 x + 4 = ± 5 ， 即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5. 所以x1 = 1 ， x2 = -9.
通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方法解方程的基本思路
把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
【练一练】1. 解方程：(1) x2 - 2x - 5 = 0； (2) x2 - 8x + 1 = 0.
(1) x2 - 2x -5 = 0，
移项，得 x2 - 2x = 5.
配方，得 (x - 1)2 = 6.
(2) x2 - 8x + 1 = 0，
移项，得 x2 - 8x = -1.
配方，得 (x - 4)2 = 15.
(1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12；
解：(1)移项，得 x2 + 2x + 2 = 0，
配方，得 (x + 1)2 = -1.
(2) 整理移项，得 x2 - 4x - 12 = 0，
配方，得 (x - 2)2 = 16.
由此可得 x - 2 = ±4，
∴x1 = 6， x2 = -2.
知识点1 直接开平方法
A. 甲正确B. 乙正确C. 丙正确D. 丁正确
知识点2 二次三项式的配方（二次项系数为1）
5. 将下列各式配方：
知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
A. 1B. 3C. 5D. 10
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限