高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算练习题

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考法一 平面向量的数量积
【例1-1】（2023·江苏南京）已知等边三角形边长为，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2024·云南）已知向量与的夹角为，且，，则 .
【一隅三反】
1．（2023·江西）中，，，，为斜边的中点，则（ ）
A．1B．1C．2D．2
2.（2024江西）已知向量、满足， 与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都）已知中，，则 ．

考法二 平面向量的模长
【例2-1】（2024·浙江宁波）已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1B．C．2D．
【例2-2】（2023·四川甘孜）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．B．4C．2D．0
【一隅三反】
1.（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023上·山西大同）设向量，满足，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
3（2024·河北保定）已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．5D．20
考法三 平面向量的夹角
【例3-1】（2023·江苏南通）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023·青海西宁）已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2024上·广东深圳）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·云南 ）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
考法四 平面向量的投影（向量）
【例4-1】．（2023·上海嘉定）已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为 .
【例4-2】（2023下·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023上·内蒙古赤峰）已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·天津）已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·上海杨浦）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 .
4．（2023下·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，，，则在方向上的投影向量是 .
考法五 平面向量的综合运用
【例5-1】（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023上·湖北荆门）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（ ）

A．B．
C．D．
【例5-3】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023下·湖北宜昌·高一校联考期中）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·重庆·高三统考期末）若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
3．（2023·江苏扬州）已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是 ．
4．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．
单选题
1．（2024·黑龙江大庆）已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（ ）
A．2B．C．D．2
2（2024·云南楚雄）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，则在上的投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·内蒙古呼和浩特）我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ）
A．9B．12C．15D．16
6（2023下·广东茂名）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为120°，则（ ）
A．B．C．D．1
7（2023·江考）已知向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
多选题
9．（2024上·广东深圳）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
10．（2023·全国·模拟预测）已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．
C．在方向上的投影向量不可能为D．与的夹角的最大值为
11．（2023·广东）下列说法错误的是（ ）
A．在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则的夹角为45°.
B．由可得或.
C．向量在向量上的投影向量是一个向量，而向量在向量上的投影是一个数量.
D．对于非零向量，， “”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件．
12．（2023上·福建莆田）已知是单位向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若不共线，则
C．若，则夹角的最小值是
D．若的夹角是，则
填空题
13（2024上·河北张家口）已知向量，的夹角为，，，则 ．
14．（2024·广西）若向量，，且，则 ．
15．（2023上·四川广安）已知向量，，且在方向上的投影数量为，则向量与的夹角为 ．
16．（2023上·天津北辰）在平行四边形ABCD中，，，向量在向量上的投影向量为，则
解答题
17．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．（2023上·天津河西）如图，中，是的中点，与交于点.

(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
19．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
20（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
21．（2023·浙江金华·）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且.

(1)若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示；
(2)求的取值范围.
22．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）在中，，，，，.
(1)求的值；
(2)求实数的值；
(3)若，与交于点，，求实数的值.