必修 第二册6.2 平面向量的运算获奖教案

这是一份必修 第二册6.2 平面向量的运算获奖教案，共12页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，变式探究1，变式探究2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：
在学生掌握平面向量概念的基础上，再让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。
1.借助实例掌握平面向量加法运算及运算规则，培养数学抽象的核心素养；
2.理解平面向量加法运算的几何意义，提升数学抽象的核心素养；
3.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，提升直观想象的核心素养。
重点：理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
难点：向量加法的几何意义及运算律
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
①飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
②有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
【想一想】从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
2.探索交流，解决问题
【思考1】上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？
【提示】三角形法则和平行四边形法则．
【设计意图】从具体实例出发结合图形思考问题，从中发现向量加法的运算法则。
（二）向量的加法运算
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.
【思考】两个向量的和还是向量吗？
【提示】两个向量的和仍然是一个向量．
2.向量的加法运算法则
（1）三角形法则
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
记忆口诀：作平移，首尾连，由起点指终点．
【思考1】若向量和共线，它们的和向量能否用三角形法则作出？
【提示】可以用三角形法则作出和向量。
【思考2】如果eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，那么A，B，C三点一定能构成三角形吗？
【提示】 不一定.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C三点有可能在同一条直线上(如图所示)，不能构成三角形.
（2）平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq \(OC,\s\up6(→))就是向量a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
记忆口诀：作平移，共起点，四边形，对角线
【探究1】根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a＋b|与|a|，|b|之间的关系吗?
【提示】对于任意向量a,b,都有||a|-|b||≤|a＋b|≤|a|+|b|;
(2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|;
(3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).
【做一做】如果=8，=5，那么的取值范围为 .
答案:[3,13]
【探究2】三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？
【提示】1.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
2.使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点。
（3）加法的运算律
如图(1)在平行四边形ABCD中，，所以
在图(2)中，
所以
【探究3】实数的加法满足哪些运算律?向量的加法是否也满足这些运算律?
【提示】实数的加法满足交换律和结合律,向量的加法也满足.
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
【设计意图】通过探究让学生理解向量的加法法则，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.向量加法法则的应用
例1.如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
解：法一 如图①，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq \(AB,\s\up6(→))＝c，则得向量eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋c，然后作向量eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c为所求.
法二 如图②，(1)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b；(2)作平行四边形AOBC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b；(3)再作向量eq \(OD,\s\up6(→))＝c；(4)作▱CODE，则eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋c＝a＋b＋c.则eq \(OE,\s\up6(→))即为所求.
【类题通法】应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．如本题(2)法一比法二简单.
【巩固练习1】如图，已知a、b，求作a＋b.
解：
①eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b ②eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b
2.平面向量的表示
例2.化简：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
解：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
【类题通法】向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【巩固练习2】
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))；
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→)).
解：(1)eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→)).
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝0.
3.向量加法在实际问题中的应用
例3. 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10 m/min，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20 m/min，
∴cs α＝eq \f(|\(CD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
【变式探究1】 若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km?
解 由例3解图可知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)×20＝10eq \r(3)(m/min)＝eq \f(3\r(3),5)(km/h)，
则经过3小时，该船的实际航程是3×eq \f(3\r(3),5)＝eq \f(9\r(3),5)(km).
【变式探究2】 若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
解：如图所示，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|v船|＝20 m/min，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10 m/min，
则tan ∠BAC＝2，即为所求.
【类题通法】应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
【巩固练习3】一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.
解：如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))分别是直升飞机的位移，则eq \(AC,\s\up6(→))表示两次位移的合位移，即eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)).
在Rt△ABD中，|eq \(DB,\s\up6(→))|＝20 km，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝20eq \r(3) km.
在Rt△ACD中，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AD,\s\up6(→))|2＋|\(DC,\s\up6(→))|2))＝40eq \r(3) km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40eq \r(3) km处.
（四）操作演练 素养提升
1.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
2.正方形ABCD的边长为1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|为( )
A.1 B.eq \r(2) C.3 D.2eq \r(2)
3.化简eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(BA,\s\up6(→)) C.0 D.eq \(AC,\s\up6(→))
4.小船以10eq \r(3) km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
答案：1.C 2.B 3.D 4.20
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第10页 练习 第1，2，3,4,5题
第22 页 习题6.2 第1,2,3题









第二节 平面向量的运算
课时内容
向量的加法运算
向量的减法运算
向量的数乘运算
向量的数量积
所在位置
教材第7页
教材第11页
教材第13页
教材第17页
新教材内容分析
向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系。
实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。
核心素养培养
通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。
借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。
会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养。
教学主线
平面向量的运算