必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品综合训练题

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考法一 平面向量基底的辨析
【例1】（2023·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·黑龙江）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【解析】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
2．（2023·湖南）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中，，即和为共线向量，
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.
故选：C
3．（2023北京）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． 和 B．和
C． 和 D．和
【答案】B
【解析】是平面内所有向量的一组基底，所以不共线；
所以和不共线，和不共线，和不共线；
所以选项A,C,D都可以作为基底；
B中，，
所以和共线，不能作为基底．故选：B
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2024·云南大理）已知在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，，又点在边上，且，
则，
故选：A.

【例2-2】（2023·河南省）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，故，则，
又是上一点，所以，解得.
故选：A.
【例2-3】（2023安徽）已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵ AD为边BC上的中线，
∴ ，
又BE为边AC上的中线，
∴ ，
又，
∴ ，
∴，
故选：B.
【例2-4】（2023·江西宜春）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】设，则
，
又因为G是的重心，故，
所以有.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】结合图形，根据向量的线性运算即得.
【详解】因为，，，，四边形为平行四边形，
则，
故选：D.
2．（2023湖北）如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故选：B
3．（2023·陕西西安）在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点满足，所以为的中点，
所以，又，
所以，
所以，又，
因为，所以，
即，
所以，解得，所以.
故选：C
4．（2024·陕西商洛）如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A．8B．4C．2D．
【答案】A
【解析】因为，,所以，
即，又，所以，故.故选：A.
考法三 线性运算的坐标表示
【例3-1】（2023·四川绵阳 ）已知向量，若，则实数m等于（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】D
【解析】由题意：；故选：D.
【例3-2】（2023·浙江金华）己知向量，且与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，又与共线，，化简得.故选：C.
【例3-3】（2023·湖南永州）已知向量，且，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【解析】，由于，所以.故选：C
【一隅三反】
1．（2023·山东邹城）已知向量，，则（ ）
A．B．5C．7D．25
【答案】B
【解析】根据题意，向量，，则，故.故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量．若非零实数满足，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，．
因为，所以，整理得，即．故选:A．
3．（2023·云南省）已知点，，三点共线，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，，三点共线，所以可设，
因为，，所以，解得，
所以.故选：B.
4．（2023·广东·）（多选）已知，，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】因为，，所以，故A正确；
，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB.
5．（2023·湖南）（多选）已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则
C．若，则D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】A：与垂直，则，可得，故错误；
B：，则，可得，故正确；
C：有，则，可得，故正确；
D：时，有，所以，即与的夹角不为，故错误.
故选：BC
考法四 平面向量数量积的坐标表示
【例4-1】（2023·浙江）（多选）已知平面向量，，下列叙述正确的是（ ）
A．与的夹角为B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】因为，，则，
且，所以，故A正确，B错误；
，则，故C正确；
在上的投影向量为，故D正确；
故选：ACD
【例4-2】（2023·海南）（多选）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，则，所以A错误；
对于B，在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，，所以在方向上投影向量的模为：
，
当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确；
对于D，向量
，
所以，则，故D正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2024·湖南邵阳）已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意：，，，所以.故选：D
2．（2024·甘肃兰州）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可得：，解得或；
当时，与共线同向，故舍去；
当时，，，
.
故选：C.
3．（2024上·河北）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，又，所以在向量上的投影向量为.故选：A.
4．（2023上·河北沧州）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由已知可得，由可得，解得，
所以由与的夹角为钝角可得解得，且.
因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.
综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B．
考法五 巧建坐标解平面向量
【例5-1】（2023·安徽）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
（1）求；
（2）若（，），求的值.
【答案】（1）14；（2）.
【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，
点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，.
（1）∵，，∴.
（2）∵，，，
由，得，∴解得∴.
【例5-2】（2024陕西）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣，0]B．[0，]C．[﹣，+∞）D．[﹣，0]
【答案】A
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：
故可得，设点，
因为点在线段上，故可得.
故，
故当时，取得最小值，
当或时，取得最大值.故.故选：A.
【一隅三反】
1.（2023福建）如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值.
【答案】（1）6；（2）.
【解析】（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：
则，，，
因为D为BC的中点，故，
∴，，
∴.
（2）由E为线段AD中点可知，
∴，，
∴
.
2．（2023山东济南市·）在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．－1D．-2
【答案】C
【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：C．
3．（2023·河北）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，解得，
∴，即的最小值为.故选：B.
考法六 奔驰定理
【例6-1】（2023·安徽）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，所以为的平分线，
同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B
【例6-2】（2023湖南）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点是所在平面上一点，又，
所以,即,即，
则点在线段上，且,
又，,
又，即，
所以点在线段上，且,
，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023河北）已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设是的中点，则，
又因为，所以,，，
所以故选：
2．（2023江西）内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，在内有一点，满足，
由奔驰定理可得，所以，故选A．
3．（2023河南）已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
即点在边上，且，
所以点到的距离等于点到距离的，
故的面积与的面积之比为.选C.
4．（2023·辽宁·）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；

对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，

由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
单选题
1．（2023·宁夏石嘴山）设向量，不平行，向量与平行，则实数（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量与平行，得，而向量不平行，
于是，所以.故选：A
2．（2024上·北京石景山 ）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
∴，
∵，
∴，解得：，
故选：B.
3．（2024·广东佛山）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
向量在向量上的投影向量为
，故D正确.
故选：D.
4．（2023下·宁夏石嘴山）已知平面向量，，若是直角三角形，则的取值是（ ）
A．2B．C．2或7D．2或5
【答案】C
【解析】，，则，
当是直角顶点时：，；
当是直角顶点时：，无解；
当是直角顶点时：，；
综上所述：或.
故选：C.
5．（2023上·重庆渝北）如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
所以，.
故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】平行四边形中,，则∽，
因为点是上靠近的四等分点，所以，
所以，

故．
故选：B．
7．（2023上·天津南开）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设
，
所以，即，
又，故.
故选：A
8．（2023·北京）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】设，则，
因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，，
故，
因为∽，所以，
设，则，，
故，故，
同理可得，，
因为∽，所以，
设，则，
，，
故，，
则
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故选：C
多选题
9．（2024·贵州）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
【答案】AC
【解析】因为，，所以，
则，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误.
故选:AC.
10．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AB
【解析】已知，
若，则，解得，A选项正确；
若，则，解得，B选项正确；
，，
当时，有最小值，C选项错误；
当时，，，
向量与向量的夹角为，D选项错误.
故选：AB
11．（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于选项，由已知条件可知，则正确；
对于选项，，则错误；
对于选项，连接，因为是线段的中点，
所以
，则正确；
对于选项，设，点三点共线，则存在，使得,
，
，
所以 ，消去得，解得，
所以，则正确；
故选：.
12．（2023·辽宁大连·高一统考期末）下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若，是单位向量)，则
C．向量与共线存在不全为零的实数使
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则
【答案】CD
【【解析】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误；
对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误；
对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确；
对于D，由向量共线定理可知，
其中，
若则，故D正确.
故选：CD.
填空题
13．（2022·全国·模拟预测）已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为与的夹角为钝角，所以且与不平行，所以且，解得且．
故答案为：
13．（2023上·上海浦东新）若向量，则在方向上的投影的坐标为 .
【答案】
【解析】由，则，
则在方向上的投影的坐标为，
故答案为：
15．（2023上·天津河北）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 .
【答案】 2
【解析】由，，可得，
由于，，三点共线，故共线，
所以，即，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
故答案为：2；
16（2023·上海黄浦·统考二模）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
解答题
17．（2023上·辽宁沈阳）给定三个平面向量．
(1)求的大小；
(2)若向量与向量共线，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
则，
所以，
因为，所以；
（2），
，
因为向量与向量共线，所以，
解得．
18．（2023·广东惠州）已知平面直角坐标系中，向量.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）设，由题意知，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或.
（2）由题意，则，
当与共线时，，
因为与的夹角为锐角，
所以，
解得，且，
所以与的夹角为锐角，实数的取值范围为.
19．（2023·辽宁）如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，
所以．
（2）由，，，
得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
20（2023·黑龙江佳木斯）知中，，为边上的中点，且相交于点P．

(1)求；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
即.
（2），
所以，
所以
所以
，
所以
故的余弦值为.
21．（2023上·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2).
【解析】（1）①因为，所以，
故在中，
；
②因为三点共线，设，
所以，
因为，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因为，又三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
所以，，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
22．（2023·北京）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设，由得，
即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9，
故中的三个元素为；
（2）先证明中向量都是共线向量，
不妨设，
因为，所以中至少有一个不为0，
若，记，
显然，即，故，
任取，因为，所以，
故，则，
故，则，则问题得证；
若，同理可证明，其中；
故综合上述中向量都是共线向量，
因为，所以不妨设，
则由定义知，即，同理，
故，则，
同理可得，故为共线向量，
即存在实数，使，即，
因为，所以，所以，
记，则，
即一定存在实数，且，使得.