高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？

【答案】向量：既有方向又有大小的量。

平行向量：方向相同或相反的向量。

相等向量：方向相同并且长度相等的向量。

2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向   是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？

【答案】向量的大小：有向线段的长度。

向量的方向：有向线段的方向。

  零向量：长度为零的向量叫零向量；

 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。

二、探索新知

思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？

【答案】  从运算的角度看， 可以认为是与的和，即位移、可以看作向量的加法。

1.已知向量和，如图在平面内任取一点O，作，则向量叫做和的和，记作．即。

求两个向量和的运算叫做向量的加法.

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

【口诀】首尾相连首尾连。

思考2：某物体受到F1，F2作用，则该物体所受合力怎么求？

 【答案】 从运算的角度看，  可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。

2.向量加法的平行四边形法则

　如图，以同一点O为起点的两个已知向量和为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

【口诀】起点相同，对角线为和。

思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？

【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。

注：向量的加法运算结果还是向量

对于零向量与任一向量．我们规定。

例1.如图，已知向量和，求作向量。

解：

探究1：如果向量和共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量吗？

【答案】（1）当和同向时，

（2）当和反向时，

探究2：结合例1，探索之间的关系。

【答案】由例1和探究1可得，当和反向或不共线时，；当和同向时，。所以，。

结论：一般地，有。

探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？

【答案】在平行四边形ABCD中，

，所以。

在图（2）中，，

，所以，

。

结论：向量加法的交换律和结合律

，

例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。

解：（1）如图所示，表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作平行四边形，则表示船实际航行的速度。

（2）在中 ，，所以，，

因为，，所以。

所以，船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。

通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过口诀，让学生更容易识记法则。

通过思考，由力的合成引入向量加法的平行四边形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，进一步理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过例题讲解，让学生理解怎样用向量的三角形法则与平行四边形法则求向量的和，提高学生解决问题的能力。

通过探究，求共线向量的和，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过探索之间的关系，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过探究，结合向量的求和法则推导加法运算律，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过例题进一步理解的运算，用向量解决实际问题，提高学生用向量解决问题的能力。

三、达标检测

1．化简＋＋＋的结果等于(　　)

A．　　  B．     C．   D．

【解析】　＋＋＋＝＋0＝.

【答案】　B

2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有(　　)

A．四边形ABCD是矩形

B．四边形ABCD是菱形

C．四边形ABCD是正方形

D．四边形ABCD是平行四边形

【解析】　由＝＋得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形．

【答案】　D

3.（多选题）下列命题中正确的命题是(　　)

A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；

B.在平行四边形ABCD中，必有＝；

C.若＝，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；

D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|.

【解析】选项A，正确；选项B，在平行四边形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以＝，正确；选项C，A，B，C，D可能共线，所以错误；选项D，为向量的三角不等式，所以正确的命题为ABD．

【答案】A BD

4．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的最大值为________．

【解析】　由|a＋b|≤|a|＋|b|知|a＋b|的最大值为2.

【答案】　2

5．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.

【解】　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，

则由向量加法的三角形法则，得

＝a＋b，＝a＋b＋c，

即为所作向量．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 向量加法的三角形和平行四边形法则；

2.；

3.向量加法的运算律。

五、作业

习题3.1   6,7,9题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。