高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算精品教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算精品教案及反思，共11页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，变式探究1，变式探究2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：
本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念，相等向量、共线向量的特点，及其向量加法运算的基础上，进一步对向量减法运算及其几何意义进行研究。
1.理解相反向量的含义，借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，培养直观想象的核心素养；
2.掌握平面向量减法运算及运算规则，提升数学抽象的核心素养；
3.能运用向量的加法和减法运算解决相关问题，提升数学运算的核心素养；
重点：理解并掌握向量减法的三角形法则
难点：向量减法的几何意义及运算律
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？
【想一想】1、类比实数X的相反数-X，对于向量a，你能定义“相反向量”-a吗？它有哪些性质？
你认为向量的减法该怎样定义？
[提示]向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.探索交流，解决问题
【思考1】方向相同或相反的两个向量称为什么向量?方向相同,模相等的两个向量称为什么向量?
【提示】方向相同或相反的两个向量叫做共线向量,方向相同,模相等的两个向量称为相等向量.
【设计意图】从具体实例出发结合图形思考问题，从中发现向量减法的运算法则。
（二）向量的减法运算
1.相反向量：
与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
性质：①a和－a互为相反向量，−－a=a。
②零向量的相反向量仍是零向量。
③由两个向量的和的定义可知：a＋(－a)＝(－a)+a =0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。
④若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0。
2.向量的减法
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)。
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
【探究】利用平行四边形法则求a＋b，那么你能结合相反向量的概念，求作出a＋(－b)吗？
【提示】 过点C作eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＝a，以CD，CA为邻边作▱CAED，由于eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))＝－b，于是eq \(CE,\s\up6(→))＝a＋(－b).又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝a，所以四边形ABCE为平行四边形，所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，所以eq \(BA,\s\up6(→))＝a＋(－b).
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→)).
如图所示
a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
记忆口诀：作平移，共起点，两尾连，指被减。
【思考1】若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？
提示 如图所示，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，|a－b|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
【思考2】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等号何时成立？
提示 (1)当向量a，b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
(2)当向量a，b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a，b共线且反向时，后一个等号成立.
【设计意图】通过探究让学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.向量减法法则的应用
例1.(1)在△ABC中，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－b D．b－a
(2)如图所示，O为△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
求作向量b＋c－a.
解析：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝－a－b＝－a＋(－b)．
(2)以eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝b＋c，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.
答案：(1)B
【类题通法】求作两个向量的差向量的两种思路
(1)用向量减法的三角形法则作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．
(2)利用相反向量作两向量差的方法
作向量a－b时，先作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，再作eq \(AB,\s\up6(→))＝－b，则向量eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.
【巩固练习1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解析：法一：如图①，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，
则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(CB,\s\up6(→))＝c，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c.
2.向量的加减法运算
例2.(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))可以写成：①eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))；②eq \(MO,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))；③eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))；④eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)).
其中正确的是________(填序号).
解析 ①eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))；②eq \(MO,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＝－eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＝－(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))≠eq \(MN,\s\up6(→))；
③eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))；④eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，故填①④.
答案 ①④
(2)化简：①eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))；
②(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))－(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DO,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))).
解 ①eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＋(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→)).
②(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))－(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DO,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
【类题通法】1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
【巩固练习2】化简下列式子：
(1)eq \(NQ,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))；
(2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))).
解 (1)原式＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))－eq \(NP,\s\up6(→))＝0.
(2)原式＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→)))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
3.向量加减法的应用
例3.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→)).
解 因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
故eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.
【变式探究1】本例条件不变，试用向量a，b，c表示eq \(BE,\s\up6(→))与eq \(CE,\s\up6(→)).
解 eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝c－a，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝c－b.
【变式探究2】 本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.
【类题通法】用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
【巩固练习3】如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示eq \(DB,\s\up6(→))； (2)用b，c表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(3)用a，b，e表示eq \(EC,\s\up6(→))； (4)用c，d表示eq \(EC,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e.
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－b－c.
(3)eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.
(4)eq \(EC,\s\up6(→))＝－eq \(CE,\s\up6(→))＝－(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.
（四）操作演练 素养提升
1.化简eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
A.eq \(MP,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→)) C.0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
2.在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，若|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形 C．正方形D．不确定
3.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝________.
4.若菱形ABCD的边长为2，则|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|的长度为______.
答案：1.C 2.B 3.eq \(AB,\s\up6(→)) 4.2
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题
第22 页 习题6.2 第4,7题










第二节 平面向量的运算
课时内容
向量的加法运算
向量的减法运算
向量的数乘运算
向量的数量积
所在位置
教材第7页
教材第11页
教材第13页
教材第17页
新教材内容分析
向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系。
实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。
核心素养培养
通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。
借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。
会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.
教学主线
平面向量的运算