人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；

B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；

C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

1.数学抽象：实数与向量的积的定义；

2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平行；

3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；

4.直观想象：共线向量定理。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.  向量的三角形法则

。

特点:首尾相接，连首尾。

2.向量的平行四边形法则

特点:同一起点,对角线。

3.向量减法的三角形法则

。

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。

二、探索新知

探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？

，记作。即。的方向与的方向相同，。

类似地，，其方向与的方向相反，。

1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。

说明：（1）当时，。（2）。

2.向量数乘的运算律

探究2：求作向量和，，(为非零向量)，并进行比较。

【答案】

设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）   

（2）

（3）

特别地，有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。

注：向量的线性运算的结果仍为向量。

对于任意向量、及任意实数、,恒有。[来源:学科网ZXXK]

例1：计算

    (1)

    (2)

    (3)

注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。

例2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且

，用向量表示

探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？

【答案】当的方向相同；当的方向相反。

3.共线向量定理：

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。

思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？

【答案】若，则。可以是。

牛刀小试：

判断下列各小题的向量是否共线。

（1）

（2）

（3）。

【答案】（1）共线  （2）共线  （3） 不共线

例3.如图，已知任意两个非零向量，试作

，，你能判断A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想。

结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法：

且有公共点B,A、B、C三点共线.

例4.已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值。

通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。

通过探究，推出数乘向量的定义，提高学生分析问题、归纳问题的能力。

通过探究，得到几个向量之间的关系，进一步归纳出数乘向量的运算律，提高学生的分析问题、归纳问题的能力。

通过特例进一步理解数乘向量的运算律，提高学生解决问题的能力。

通过例题进一步熟悉数乘向量的运算律，提高学生利用知识解决问题的能力、运算素养。

通过例题进一步熟悉数乘向量的运算律与向量的运算，提高学生利用所学知识解决问题的能力、运算素养。

通过探究，推出共线向量定理，提高学生归纳能力，概括能力。

通过思考，进一步理解共线向量定理。

通过练习，巩固所学知识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。

通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量定理，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．下列各式中不表示向量的是(　　)

A．0·a      B．a＋3b

C．|3a|       D．e(x，y∈R，且x≠y)

【解析】　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．

【答案】　C

2．下列计算正确的个数是(　　)

①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.

A．0    B．1     C．2     D．3

【解析】　因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．

【答案】　C

3.－等于(　　)

A．a－b＋2c B．5a－b＋2c

C．a＋b＋2c D．5a＋b

【解析】　－＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A．

【答案】　A

4．O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________．

【解析】　设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.

【答案】　(或)

5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC．

【证明】　∵＝＋＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴与共线．

又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 数乘向量的定义；

2.数乘向量的运算律；

3.共线向量定理。

五、作业

习题6.2  8.（2）（3）（4）,9题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。