高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.2平面向量的数量积及应用(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.2平面向量的数量积及应用(精讲)(原卷版+解析)，共17页。


【知识必备】
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cs θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cs θ的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1) a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
5．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2， (2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12). (3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的计算】
必备技巧 求平面向量数量积的方法
（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.
例1(2023·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为________．
（2）．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为__________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
例2 （2023·北京高考真题），，，则_______；_______．
【跟踪精练】
1. (2023·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，则值为__________．
2. (2023·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则______．
【题型二 利用数量积求模长】
必备技巧 利用数量积求模长
(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(a2)，勿忘记开方.．
(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12)．
例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
例4(2023·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三课时练习）已知，则（ ）
A．B．C．13D．21
2. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．B．1C．D．2
【题型三 利用数量积求夹角】
方法技巧 利用数量积求夹角
(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
(2)向量有坐标时，cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
例6(2023·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·河北武强中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.
2. (2023·全国福建省漳州市高三期末) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1) 求a与b的夹角θ；
(2) 求|a＋b|；
(3) 若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
【题型四 利用数量积求解垂直问题】
方法技巧 利用向量数量积求解垂直问题
解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)
例7(2023·全国高三专题练习）已知，若，则x等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
例8 (2023·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且a⋅b=2，若，则______．
【题型精练】
1. (2023•南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是
A．B．C．D．
2. (2023·河南开封·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【题型五 利用数量积求投影】
例9 (2023·江西鹰潭·二模）已知向量，则在方向上的投影为_________
例10 (湖北高考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(3\r(15),2) C.－eq \f(3\r(2),2) D.－eq \f(3\r(15),2)
【题型精练】
1.( 2022·莆田第十五中学高三月考)已知，，，则在方向上的投影等于_______.
2．(2023·新疆克拉玛依·三模）设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .
5.2 平面向量的数量积及应用
【题型解读】
【知识必备】
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cs θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cs θ的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1) a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
5．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2， (2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12). (3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的计算】
必备技巧 求平面向量数量积的方法
（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.
例1(2023·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为________．
（2）．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为__________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
答案：： 1．eq \f(29,18) 2．1 1
【解析】：1．法一 取eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))为一组基底，
则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(5,12)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(7,12)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝
＝eq \f(7,12)||－eq \f(25,18)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)|eq \(BC,\s\up6(→))|2
＝eq \f(7,12)×4－eq \f(25,18)×2×1×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)＝eq \f(29,18)．
法二 CO⊥AB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A，B，
C，D，
所以E，F，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝＝eq \f(10,9)＋eq \f(1,2)＝eq \f(29,18)．
2．法一 如图，eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))·eq \(CB,\s\up6(→))
＝eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))2＝1，eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝|eq \(AE,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|≤|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝1．
法二 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，
设E(t，0)，t∈[0，1]，则eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1．
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为1．
法三 由图知，无论E点在哪个位置，eq \(DE,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影都是CB＝1，
∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CB,\s\up6(→))|·1＝1．
当E运动到B点时，eq \(DE,\s\up6(→))在eq \(DC,\s\up6(→))方向上的投影最大即为DC＝1，∴(eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→)))max＝|eq \(DC,\s\up6(→))|·1＝1．
例2 （2023·北京高考真题），，，则_______；_______．
答案：0 3
【解析】，
，，
.
故答案为：0；3.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，则值为__________．
答案：
【解析】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
2. (2023·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则______．
答案：
【解析】以底边的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图：
由已知条件和图可知，，，，故，
又因为点是线段的中点，所以，
所以，
从而，
故答案为：.
【题型二 利用数量积求模长】
必备技巧 利用数量积求模长
(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(a2)，勿忘记开方.．
(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12)．
例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
答案：C
【解析】解：因为，，且与的夹角为，
所以，
，
故选：C
例4(2023·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.
答案：
【解析】由,得,得.
故答案为：.
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三课时练习）已知，则（ ）
A．B．C．13D．21
答案：A
【解析】依题意，
，.
所以.故选：A
2. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：A
【解析】因为非零向量，的夹角为，且，所以，
又因为，所以，
即，所以整理可得：，因为，
解得：，故选：A.
【题型三 利用数量积求夹角】
方法技巧 利用数量积求夹角
(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
(2)向量有坐标时，cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
答案：
【解析】因为，所以.
因为，所以，
所以.
设与夹角为，所以.
因为，所以.
例6(2023·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，
，即，
，
，
所以向量与的夹角为，
故选：B.
【题型精练】
1．(2023·河北武强中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.
答案：
【解析】由题意，设，又，设与的夹角为，所以，所以.故答案为：.
2. (2023·全国福建省漳州市高三期末) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1) 求a与b的夹角θ；
(2) 求|a＋b|；
(3) 若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
【解析】：(1) ∵ (2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴ 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．
又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－4a·b－27＝61，
∴ a·b＝－6．∴ csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,4×3)＝－eq \f(1,2)．
又0≤θ≤π，∴ θ＝eq \f(2π,3)．
(2) 可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴ |a＋b|＝eq \r(13)．
(3) ∵ eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq \f(2π,3)，
∴ ∠ABC＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3)．
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，
∴ S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)．
【题型四 利用数量积求解垂直问题】
方法技巧 利用向量数量积求解垂直问题
解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)
例7(2023·全国高三专题练习）已知，若，则x等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
答案：D
【解析】∵，∴，又，∴，可得x=12.
故选：D
例8 (2023·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且a⋅b=2，若，则______．
答案：-2
【解析】因为得，
又因为，
所以，所以．
故答案为：-2.
【题型精练】
1. (2023•南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是
A．B．C．D．
答案：．
【解析】中，，，
①当时，，
即，解得；
②当时，，且；
即，解得；
③当时，，
即，整理得，解得或；
综上知，的取值为或或．
2. (2023·河南开封·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，
又与的夹角为且为单位向量，
所以，可得.
故选：A
【题型五 利用数量积求投影】
例9 (2023·江西鹰潭·二模）已知向量，则在方向上的投影为_________
答案：
【解析】因为，，所以，，
因为，所以，所以，
所以在方向上的投影为，
故答案为：．
例10 (湖北高考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(3\r(15),2) C.－eq \f(3\r(2),2) D.－eq \f(3\r(15),2)
答案：A
【解析】∵A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，
∴a＝＝(2，1)，b＝＝(5，5).∴向量在方向上的投影为
||cs〈a，b〉＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))×eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))＝eq \f(2×5＋1×5,\r(52＋52))＝eq \f(3\r(2),2).故选A.
【题型精练】
1.( 2022·莆田第十五中学高三月考)已知，，，则在方向上的投影等于_______.
答案：
【解析】设，的夹角为，
解得，则在方向上的投影等于故答案为：
2．(2023·新疆克拉玛依·三模）设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .
答案：
【解析】由已知，，，所以，
所以，因为点为弧的中点，所以，
扇形的半径为1，所以弧满足的曲线参数方程为，
所以中点的坐标为，所以的坐标为，，，
向量在上的投影为，
因为，所以向量在上的投影向量为.
故答案为：；