数学必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案及答案

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案及答案

6.2.2 向量的减法运算【学习目标】【自主学习】一．相反向量二.向量的减法思考：已知不共线的两个向量a，b，a＋b与a－b的几何意义分别是什么？三．|a－b|与|a|，|b|之间的关系(1)对于任意向量a，b，都有 ≤ |a－b| ≤ ；(2)当a，b共线，且同向时，有|a－b|＝ 或 ；(3)当a，b共线，且反向时，有|a－b|＝____．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)相反向量一定是共线向量．(　√　)(2)两个相反向量之差等于0.(　　)(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)(4)两个向量的差仍是一个向量．(　　)2.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)A．a与b的长度相等 B．a∥bC．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量【经典例题】题型一 向量加减法法则的应用点拨：　 例1 化简(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→)))－(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→)))．【跟踪训练】1 化简：(1)eq \o(OM,\s\up6(→))－eq \o(ON,\s\up6(→))＋eq \o(MP,\s\up6(→))－eq \o(NA,\s\up6(→))；(2)(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→)))－(eq \o(DC,\s\up6(→))－eq \o(DO,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))．题型二 利用已知向量表示其他向量点拨：三个技巧 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例2 如图，O为平行四边形ABCD内一点，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \o(OD,\s\up6(→))＝________．【跟踪训练】2 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，eq \o(AE,\s\up6(→))＝c，则eq \o(BD,\s\up6(→))＝________.题型三 向量减法的应用例3已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．【跟踪训练】3（1）已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(OD,\s\up6(→))满足eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为 。分析：注意向量a＋b，a－b的几何意义．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用． （2）在平行四边形ABCD中，若|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AD,\s\up6(→))|，则必有(　 　)A．eq \o(AD,\s\up6(→))＝0　　　　　　 B．eq \o(AB,\s\up6(→))＝0或eq \o(AD,\s\up6(→))＝0C．四边形ABCD为矩形 D．四边形ABCD为正方形【当堂达标】1．化简eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))得(　 　)A．eq \o(AB,\s\up6(→)) B．eq \o(DA,\s\up6(→))C．eq \o(BC,\s\up6(→)) D．02．在□ABCD中，eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AD,\s\up6(→))等于(　 　)A．eq \o(AB,\s\up6(→)) B．eq \o(BA,\s\up6(→))C．eq \o(CD,\s\up6(→)) D．eq \o(DB,\s\up6(→))3．(多选题)对于菱形ABCD，下列各式正确的是(　　)A．eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→)) B．|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝|eq \o(BC,\s\up7(→))|C．|eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \o(CD,\s\up7(→))|＝|eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))| D．|eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))|＝|eq \o(CD,\s\up7(→))－eq \o(CB,\s\up7(→))|4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \o(EF,\s\up6(→))等于________．5．已知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝10，|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝7，则|eq \o(CB,\s\up6(→))|的取值范围为______．6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))|，试判断△ABC的形状．【课堂小结】知识点：1.相反向量 2.向量减法 3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系题型：1. 向量加减法法则的应用 2.利用已知向量表示其他向量3.向量减法的应用【参考答案】【自主学习】一．相等 相反 0 －b 0二．相反向量 eq \o(BA,\s\up6(→)) 终点 终点思考：如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．三．||a|－|b|| |a|－|b| |a|－|b| |a|＋|b| 【小试牛刀】1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2.C 可能为零向量，此时C选项错误。【经典例题】例1 [解析]　方法一(统一成加法)　(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→)))－(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→)))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(CA,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DA,\s\up6(→))＝0.方法二(利用减法)　(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→)))－(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→)))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))－eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(CB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝0.【跟踪训练】1 解：(1)eq \o(OM,\s\up6(→))－eq \o(ON,\s\up6(→))＋eq \o(MP,\s\up6(→))－eq \o(NA,\s\up6(→))＝eq \o(NM,\s\up6(→))＋eq \o(MP,\s\up6(→))－eq \o(NA,\s\up6(→))＝eq \o(NP,\s\up6(→))－eq \o(NA,\s\up6(→))＝eq \o(AP,\s\up6(→)). (2)(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→)))－(eq \o(DC,\s\up6(→))－eq \o(DO,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))－(eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝eq \o(BC,\s\up6(→))－eq \o(BC,\s\up6(→))＝0.例2 a－b＋c解析：因为eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(CD,\s\up6(→))，eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))，所以eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))，所以eq \o(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c.【跟踪训练】2 b－a＋c 解析：∵四边形ACDE为平行四边形，∴eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(AE,\s\up6(→))＝c，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∴eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.例3 [2,6)　解析：根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.【跟踪训练】3 （1）平行四边形[解析]　∵eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OD,\s\up6(→))，∴eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))，∴eq \o(DA,\s\up6(→))＝eq \o(CB,\s\up6(→)).∴|eq \o(DA,\s\up6(→))|＝|eq \o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）C 解析：因为|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AD,\s\up6(→))|，所以|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|eq \o(DB,\s\up6(→))|，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形．故选C.【当堂达标】1.D [解析]　原式＝(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＋(eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝0.2.A [解析]　eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))，在□ABCD中，eq \o(DC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→)).3.BCD　解析菱形ABCD中，如图，|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝|eq \o(BC,\s\up7(→))|，∴B正确．又|eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \o(CD,\s\up7(→))|＝|eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))|＝|eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up7(→))|，|eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))|＝|eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))|＝2|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up7(→))|，∴C正确；又|eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))|＝|eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))|＝|eq \o(DB,\s\up7(→))|，|eq \o(CD,\s\up7(→))－eq \o(CB,\s\up7(→))|＝|eq \o(BD,\s\up7(→))|＝|eq \o(DB,\s\up7(→))|，∴D正确；A肯定不正确，故选BCD．4. b－c解析：eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝b－c.5. [3，17]解析：因为eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))，所以|eq \o(CB,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|.又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|－|\o(AC,\s\up6(→))|))≤|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|≤|eq \o(AB,\s\up6(→))|＋|eq \o(AC,\s\up6(→))|，即3≤|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|≤17，所以3≤|eq \o(CB,\s\up6(→))|≤17.6.解：因为eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)).又|eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))|，所以|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．素 养 目 标学 科 素 养1.理解理解相反向量的概念。（重点）2.掌握向量减法的运算法则及其几何意义。（重点）3.能用向量的加法和减法解决相关问题。（难点）1.数学运算;2.直观想象定义如果两个向量长度 ，而方向 那么称这两个向量是相反向量性质对于相反向量有：a＋(－a)＝____若a、b互为相反向量，则a＝____，a＋b＝____零向量的相反向量仍是零向量推论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 作法在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝_____.如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量