数学必修 第二册6.2 平面向量的运算学案

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算学案

6.2.4 向量的数量积【学习目标】【自主学习】一．两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a与b ；②当θ＝eq \f(π,2)时，向量a与b ，记作a⊥b；③当θ＝π时，向量a与b ．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量eq \o(CA,\s\up6(→))与eq \o(AB,\s\up6(→))的夹角．作eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))，则∠BAD才是向量eq \o(CA,\s\up6(→))与eq \o(AB,\s\up6(→))的夹角．二．向量的数量积已知两个 向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的 (或 )，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．三．投影向量若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ e.当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝eq \f(π,2)时，投影向量为 ；当θ＝π时，投影向量为 .四．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝ .(2)a⊥b⇔ ．(3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ．特别地，a·a＝ 或|a|＝eq \r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.(5)cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，其中θ是非零向量a与b的夹角．数量积的性质的应用:性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题；性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式．五．向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则(1)交换律: ；(2)数乘结合律： ；(3)分配律： .注意:(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)推论：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1) 两个向量的数量积仍然是向量．(　　)(2)若a·b＝0，则a与b至少有一个为零向量．(　　)(3)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　)(4)若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b.(　　)(5)对于任意向量a，都有a·a＝|a|2.(　　)(6)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　)【经典例题】题型一 求平面向量的数量积点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．例1　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．【跟踪训练】1如图，在▱ABCD中，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：(1) eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(DA,\s\up6(→))；(2) eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→)).题型二 求向量的模点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)．例2 已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ 。【跟踪训练】2 已知向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq \r(10)，则|b|＝________.题型三 求两向量的夹角点拨：求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，利用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ∈[0，π]，求出θ的值．　 在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．例3 (1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为__ ____．【跟踪训练】3 已知单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．题型四 利用向量垂直求参数点拨：常用向量数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0解决向量垂直问题，应熟练掌握.例4 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？【跟踪训练】4已知向量a与b的夹角是eq \f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，若(eq \r(3)a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．【当堂达标】1.下列命题正确的是(　　)A．|a·b|＝|a||b| B．a·b≠0⇔|a|＋|b|≠0C．a·b＝0⇔|a||b|＝0 D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c2.在△ABC中，eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))<0，则△ABC是(　C　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形3.已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)4.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．5.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．6.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.【课堂小结】1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0≤θ＜eq \f(π,2)时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，eq \f(π,2)＜θ≤π时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝eq \f(π,2)时)．2.两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝eq \r(,a2).3.求两个非零向量a，b的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，根据题中条件分别求出|a|，|b|和a·b，确定θ时要注意θ∈[0，π]．【参考答案】【自主学习】同向 垂直 反向非零 数量积 内积 0|a|e 0 －|a|e四．|a|cos θ a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2 五．a·b＝b·a (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (a＋b)·c＝a·c＋b·c【小试牛刀】(1)× (2)× (3)× (4)× (5) √ (6)× 【经典例题】例1 解 (1)a·b＝|a||b|cos120°＝5×4×(－eq \f(1,2))＝－10.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝25－16＝9.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×25－5×10－3×16＝－48.【跟踪训练】1解 (1) 因为eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AD,\s\up6(→))的夹角为60°，所以eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(DA,\s\up6(→))的夹角为120°，所以eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(DA,\s\up6(→))＝|eq \o(AB,\s\up6(→))||eq \o(DA,\s\up6(→))|·cos 120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6. (2)因为eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))，所以eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))·(eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \o(AD,\s\up6(→))2－eq \o(AB,\s\up6(→))2＝9－16＝－7.例2 2eq \r(3) 解： |a＋2b|＝eq \r(（a＋2b）2)＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq \r(|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2)＝ eq \r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4)＝2eq \r(3).【跟踪训练】2 eq \r(2) 解：因为|2a＋b|＝eq \r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq \f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq \r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq \r(2)或|b|＝－3eq \r(2)(舍去)．例3 (1)eq \f(π,3)　(2)eq \f(π,3) 解析　(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝eq \f(1,2).又因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以θ＝eq \f(π,3).(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝eq \f(b2,|a||b|).又因为|a|＝2|b|，所以cos θ＝eq \f(|b|2,2|b|2)＝eq \f(1,2).又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3).【跟踪训练】3 解：∵e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(π,3)，∴e1·e2＝1×1×coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq \f(1,2)＋1＝－eq \f(3,2)，|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq \r(3)，|b|＝eq \r(b2)＝eq \r(1＋4－4×\f(1,2))＝eq \r(3)，∴cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(3,2)×eq \f(1,\r(3)×\r(3))＝－eq \f(1,2).又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3)，∴a与b的夹角为eq \f(2π,3).例4 解：因为3a＋2b与ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝eq \f(3,2).【跟踪训练】4 －eq \r(3) 解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos eq \f(π,3)＝1，因为(eq \r(3)a＋λb)⊥a，所以(eq \r(3)a＋λb)·a＝eq \r(3)a2＋λa·b＝eq \r(3)＋λ＝0，所以λ＝－eq \r(3).【当堂达标】1. D解析：选项D是分配律，正确，A、B、C不正确．2.C 解析：∵eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))＝|eq \o(AB,\s\up15(→))||eq \o(AC,\s\up15(→))|cosA<0，∴cosA<0，∴A是钝角，则△ABC是钝角三角形.3.C 解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3).4.2eq \r(3)　4eq \r(19) 解析：由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2eq \r(3).因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4eq \r(19).5. －eq \f(12,5)e 解析：设a与b的夹角θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－12,3×5)＝－eq \f(4,5)，所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))e＝－eq \f(12,5)e.6.解：因为向量a与b的夹角为60°.|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝1，因为c＝2a－b，d＝a＋2b，(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2＝2|a|2＋3×1－2|b|2＝2×22＋3－2×12＝9.(2)因为c＋2d＝(2a－b)＋2(a＋2b)＝4a＋3b，(c＋2d)2＝(4a＋3b)2＝16a2＋24a·b＋9b2＝16|a|2＋24×1＋9|b|2＝16×22＋24×1＋9×1＝97，所以|c＋2d|2＝97，所以|c＋2d|＝eq \r(97).素 养 目 标学 科 素 养1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点）3. 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理。