高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题

课时跟踪检测 （五） 向量的数量积

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)下列说法正确的是          (　　)

A．向量b在向量a上的投影是向量

B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是

C．(a·b)·c＝a·(b·c)

D．a·b＝0，则a⊥b

解析：选AB　对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝    (　　)

A．4　　　　　　　　　 B．3

C．2   D．0

解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.

∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.

3．(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

解析：选D　由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，

所以cosa，a＋b＝＝＝，故选D.

4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝      (　　)

A．1   B．2

C．3   D．5

解析：选A　因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.

5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为                                                                                       (　　)

A．4   B．－4

C.   D．－

解析：选B　由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，

所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，

所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.

6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．

解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b.

答案：b

7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.

解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.

答案：6

8．已知|a|＝1，|b|＝.

(1)若a∥b且同向，求a·b；

(2)若向量a，b的夹角为135°，求|a＋b|.

解：(1)若a∥b且同向，则a与b夹角为0°，

此时a·b＝|a||b|＝.

(2)|a＋b|＝ ＝

＝＝1.

层级(二)　能力提升练

1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝       (　　)

A．20　　　　　　 　 B.

C．2   D.

解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a ＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.

2．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于                                                                                                                              (　　)

A．8   B．－8

C．8或－8   D．6

解析：选A　cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，

∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.

3．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝

________.

解析：∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，

∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，

∴cos〈a，c〉＝＝.

答案：

4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.

(1)当|u|取最小值时，求实数t的值．

(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？

解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)

＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2

＝|b|22＋|a|2－.

∵b是非零向量，∴|b|≠0，

∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．

(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，

∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.

5．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.

(1)求|b|；

(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．

解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.

(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1，

所以|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，

又θ∈[0，π]，故θ＝.

层级(三)　素养培优练

1．下面图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图②所示，图②中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝                                                                                                                              (　　)

A．32   B．28

C．26   D．24

解析：选C　如图所示，建立以a，b为一组基底的基向量，其中|a|＝|b|＝1且a，b的夹角为60°，

∴＝2a＋4b，＝4a＋2b，

∴·＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝8a2＋8b2＋20a·b＝8＋8＋20×1×1×＝26.

2．选择下列条件补充到题中横线上，并求k的取值范围．

①锐角；②钝角．

设{e1，e2}为标准正交基，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为________，试求k的取值范围．

解：选择条件①锐角：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，

∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞)．

选择条件②钝角：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，

∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k<0，∴k<0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．

综上，k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．

3.如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：   

与的夹角取何值时， ·最大？并求出这个最大值．

解：如图，设与的夹角为θ，

则·＝(－)·(－)

＝·－·－·＋·＝－a2－·＋·

＝－a2－·(－)

＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ.

故当cos θ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.