人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

课时跟踪检测 （八） 平面向量数乘运算的坐标表示

层级(一)　“四基”落实练

1．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是          (　　)

A．(，－1)　　　　　　　 B．(－1，－)

C．(－，－1)   D．(－1，)

解析：选D　法一：∵a＋2b＝(，－3)，

∴×－(－1)×(－3)＝0.

∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.

法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.

2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于        (　　)

A．－2   B．2

C．－   D.

解析：选C　由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，

a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，

∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.

3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么           (　　)

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

解析：选D　由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，所以(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，所以k－λ＝0且λ＋1＝0，所以k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.

4．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于    (　　)

A．3   B．－3

C．－   D.

解析：选C　因为a∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－，则2sin αcos α＝＝＝＝－.

5．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的是    (　　)

A．存在实数x，使a∥b

B．存在实数x，使(a＋b)∥a

C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a

D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b

解析：选ABC　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A中叙述错误；

a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B中叙述错误；ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C中叙述错误；由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D中叙述正确．

6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．

解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，

∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.

答案：1

7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.

解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，

∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.

答案：5

8.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M，   N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．

解：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)．又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．

层级(二)　能力提升练

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝     (　　)

A.   B.

C．1   D．2

解析：选B　由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝.故选B.

2．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．

解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)，解得y＝10.

答案：10

3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.

解析：由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．

设C(x，y)，则＝(x，y)．

∵＝λ＋μ，∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，

∴又∵∠AOC＝，OC＝2，

∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，∴λ＋μ＝＋1.

答案：＋1

4．已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．

(1)求实数x，使两向量，共线；

(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？

解：(1)＝(x,1)，＝(4，x)．因为，共线，

所以x2－4＝0，解得x＝±2.

则当x＝±2时，两向量，共线．

(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，

＝－3，则∥，此时A，B，C三点共线，

又∥，从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．当x＝2时，＝(2,1)，＝(－2,1)，与不平行，故A，B，C，D四点不在同一直线上．

5．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t (t∈R)．

(1)t为何值时，P在x轴上？t为何值时，P在y轴上？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

解：(1)由题意得＝(1,2)，＝(3,3)，

则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．

若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；

若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.

(2)不能．理由如下：

由题意知＝(1,2)，＝－＝(3－3t，3－3t)．

若四边形OABP为平行四边形，则＝，

∵无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．

层级(三)　素养培优练

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．

解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，

所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，

v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．

又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.

2．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.

证明：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，

依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，

＝(4，－1)，

＝＝，＝＝，

所以(x1＋1，y1)＝，所以E，

(x2－3，y2＋1)＝，所以F.

所以＝.所以＝(4，－1)＝.

所以∥.