人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示一课一练

课时跟踪检测 （七） 平面向量的正交分解及坐标表示  平面向

量加、减运算的坐标表示

层级(一)　“四基”落实练

1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝        (　　)

A．(－2，－2)　　　　　　 B．(2,2)

C．(1,1)   D．(－1，－1)

解析：选A　＝－＝(－2，－2)．故选A.

2．(多选)下列各式不正确的是         (　　)

A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，则a－b＝(1,0)

B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则b－a＝(－3,2)

C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1)

D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2,1)

解析：选ACD　由向量加、减法的坐标运算可得．

3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于                                                                                                                                (　　)

A．第一、二象限   B．第二、三象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D　因为x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．

4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法正确的是   (　　)

A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)

B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2

C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O

D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)

解析：选A　由平面向量基本定理，可知A正确；

例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；

因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．

5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝    (　　)

A．(－2,4)   B．(4,6)

C．(－6，－2)   D．(－1,9)

解析：选A　在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A.

6．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．

解析：易知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．

答案：(1，－2)

7．已知2 020个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 019个向量的和为________．

解析：其余2 019个向量的和为(0,0)－(8,15)＝(－8，－15)．

答案：(－8，－15)

8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．

解析：设点A(x，y)，则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．

答案：(－3，3)

9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.

解：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有

解得所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．

10.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标   系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．

解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，

因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．

又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，

所以＝(－4,3)．

层级(二)　能力提升练

1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(－1,3)，＝(2,5)，则等于(　　)

A．(－2，－4)   B．(4，－1)

C．(3,5)   D．(2,4)

解析：选B　∵＋＝，∴＝－＝(3,2)．

∴＝－＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)．

2．已知A(7,2)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a的值为(　　)

A．2   B．1

C.   D.

解析：选C　设C(m，n)，则＝(m－7，n－2)，＝(1－m，4－n)，又＝，所以解得m＝4，n＝3，所以C(4，3)，代入y＝ax得3＝2a，所以a＝.

3．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝________.

解析：∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，＝a，

∴ 解得x＝1.

答案：1

4．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，的坐标．

解：如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，      －2)，F(－5，－6)，分别作出向量，，.

易知＝(2,4)，＝(－3,4)，＝(－3，－4)．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3，2)．

(1)若＝＋，求点P的坐标；

(2)若＋＋＝0，求的坐标．

解：(1)因为＝(1,2)，＝(2,1)，所以＝(1,2)＋(2,1)＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．

(2)设点P的坐标为(x，y)．因为＋＋＝0，

又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x,6－3y)．所以

 解得

所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2)．