人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算随堂练习题，共17页。试卷主要包含了解答题，填空题，单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
向量的数量积学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题1．已知，与的夹角为60°，求：(1)；(2)；(3).2．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．(1)若与垂直，求；(2)若，求的最小值及对应的的值.3．已知向量，满足，，．(1)求；(2)若，求实数k的值．4．如图，在△ABC中，，，，，．(1)设，求x，y的值，并求；(2)求的值．5．已知中，，，B是中的最大角，若，试判断的形状． 二、填空题6．已知等边的边长为3，则________7．在边长为2的等边三角形中，，，则______．8．如图中，，，，，且，则__.9．若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.10．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．11．已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.12．已知向量的夹角为，，，则______．13．已知向量，满足，，，则_________.14．已知，，，则向量与向量的夹角为_______．15．已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为________．16．已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______； 三、单选题17．已知菱形的边长为a，，则（    ）A． B． C． D．18．已知平行四边形ABCD满足，，，，，（    ）A．6 B．10 C．14 D．19．已知平面向量均为非零向量，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．C．若，则 D．若，则20．对于非零向量，，，给出下列结论：①若，，则；                ②若，则；③；                        ④其中正确结论的有（    ）A．①④ B．①③ C．②③ D．①③④21．已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为A． B． C． D．22．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．23．已知向量满足，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．24．已知单位向量，满足，若向量，则＝（    ）A． B． C． D．25．已知非零向量满足，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．26．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．27．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．28．已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ）A．12 B．8 C．-8 D．229．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（    ）A．2 B． C． D．30．在四边形ABCD中，若，则该四边形为（    ）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形31．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（    ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形32．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 四、多选题33．设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（    ）A． B．C． D．34．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为35．设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（    ）A．与的夹角为 B．C．的最小值为 D．的最小值为
参考答案：1．(1)；(2)；(3) 【分析】利用数量积的定义及运算律即可得到答案【详解】（1）；（2）；（3）2．(1)(2)时，最小值为 【分析】（1）由数量积为0求得后可得；（2）把平方转化为数量积的运算得的函数，由函数可得最小值．【详解】（1）因为与垂直，所以，所以，，所以，；（2），所以时，取得最小值．3．(1)6(2)或2 【分析】（1）先求出的平方，进而求出；（2）根据向量垂直得到方程，求出实数k的值.【详解】（1）．所以；（2）由题意可得：，即，∴，解得：或2，所以实数k的值是-1或2.4．(1)，；(2). 【分析】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即可；（2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可.【详解】（1），，，，.（2）.5．锐角三角形【解析】设是与的夹角，由知，即为钝角，又角B是中最大角，所以为锐角三角形.【详解】如图，设是与的夹角，则，故，所以为钝角，故可得为锐角．又角B是中最大角，所以为锐角三角形．【点睛】本题考查向量的数量积，由数量积的符号判断夹角的大小，属于基础题.6．【分析】根据平面数量积概念求解即可.【详解】.故答案为：7．##【分析】把均用基底表示，再利用数量积运算求解【详解】因为，所以为的中点即，∵，∴，∴.故答案为：8．【分析】结合已知条件，首先用与表示出和，然后利用数量积的定义即可求解.【详解】由中，，，，则，，又，且，即，故，即，从而，故，因为，所以.故答案为：.9．6【分析】根据两向量垂直，可得到=0，展开化简即可求出值.【详解】因为，所以，因为，所以，即，又是单位向量，所以，即.故答案为：10．2【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值.【详解】因为，所以，即.又，,与的夹角为，则，所以．故答案为：2.11．11【分析】根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案.【详解】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：11.12．【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果.【详解】解：因为向量的夹角为，，，所以，因此，，故答案为：.13．【分析】根据数量积的性质求向量的模长，解得，再次利用数量积的性质，求得答案.【详解】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．14．##【分析】化简，结合平面向量数量积的定义可求出向量与向量的夹角【详解】设向量与向量的夹角为，因为，，，所以，得，因为，所以，故答案为：15．【分析】根据数量积的定义求解的值，再根据投影的定义求解的值即可.【详解】解：由于，，与的夹角为，则则在上的投影为：.故答案为：.16．【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.【详解】因为，所以向量在上的投影向量为.故答案为：.17．D【分析】由题意易知，，，则可求出的值.【详解】由题意可知，在中，，，又，所以.故选：D.18．C【分析】先判断出，然后利用向量数量积的运算求得正确答案.【详解】由于，两边平方并化简得，所以，所以.故选：C19．A【分析】由共线向量、相等向量、向量的数量积依次判断4个选项即可.【详解】对于A，由可得同向，又分别表示方向上的单位向量，故，A正确；对于B，，两者不一定相等，B错误；对于C，只能得到模长相等，方向不确定，C错误；对于D，当，时，成立，但不成立，D错误.故选：A.20．A【分析】根据向量共线定义判断①，由数量积定义判断②，由向量模的定义判断③，把模转化数量积运算判断④．【详解】为，，是非零向量，因此由，，知与，与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，可得，①正确；，当时也成立，不能得出，②错；由三角形的性质，模的几何意义得，③错；，④正确．故选：A．21．D【详解】，∵，∴，即，∴，∴，∴.22．C【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算．【详解】由已知得，，，，所以.故选：C．23．C【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.【详解】，，又，，，设与的夹角为，，从而，所以与的夹角.故选：C24．B【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.【详解】因为，是单位向量，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以．故选：B．25．B【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可.【详解】解：因为，所以，所以，由得，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故选：B.26．B【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B27．B【分析】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长，交于点，如图所示，，，，又，向量在向量上的投影向量为，故选：B.28．A【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.【详解】在方向上投影向量为，，.故选：A29．B【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.【详解】解：因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.30．B【分析】由结合向量的加减法法则可得，再由得，从而可判断出四边形的形状.【详解】由得，所以，∥，所以四边形ABCD为平行四边形，又，所以．所以四边形ABCD为矩形故选：B31．C【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案.【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．由，，所以，所以四边形ABCD为菱形．故选：C32．A【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状.【详解】由题知，所以，即．因为，所以，即，所以．又因为，所以，所以，即，两边同时平方并展开化简可得，即，所以．综上可知，的形状是等腰直角三角形．故选：A．33．BC【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.【详解】设与的夹角为，对于A, 当为锐角时，不一定相等，故A错误，对于B. 当为锐角时，=，成立，当为钝角时，=，成立，当为直角时，成立，故正确；对于C.,故C对，对于D. ，故D错误.故选：BC.34．BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,,解得,故A错误,，由于，与的夹角为，故B正确,,故C正确在上的投影向量为，故D错误,故选：BC35．BD【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】对：设的夹角为，，两边平方可得：，即对任意的恒成立，故可得：，即，则，又，故，故错误；对：，故正确；对：，当且仅当时取得等号，故错误；对：，对，当且仅当时取得最小值，故的最小值为，故正确.故选：.