高中6.2 平面向量的运算练习

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第六章　平面向量及其应用6.2.4　向量的数量积基础过关练题组一　向量的数量积1.(多选)(2021吉林吉华一中高一下期中)已知向量a,b,下列选项中正确的是              (　　)A.|a|2=a2　　　B.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·(b+c)=a·b+a·c　　　D.|a·b|≤|a|·|b|2.若e1,e2是夹角为的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b= (　　)A.1　　　B.-4　　　C.-3.(2020江西南昌第十中学高一上期末)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且,.(1)若F为DE的中点,用向量;(2)在(1)的条件下,求的值.    题组二　向量的投影向量4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,e是与b同向的单位向量,则向量a在向量b上的投影向量是              (　　)A.-4e　　　B.4e　　　C.-2e　　　D.2e5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影向量为 (　　)A.a　　　B.2a　　　C.a　　　D.a6.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　. 题组三　向量的模7.(2021云南弥勒一中高一月考)若两个单位向量a,b的夹角为,则|4a+5b|=              (　　)A.1　　　B.　　　D.78.(2021江西南昌二中高一下开学考试)已知a,b是夹角为90°的两个单位向量,若非零向量c满足 (c-a)·(c-b)=0,则|c|的最大值为              (　　)A.1　　　B.　　　D.2题组四　向量的夹角9.(2020山东滕州一中高一下月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=1,那么向量a,b的夹角为              (　　)A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150°10.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,|b-a|=,则a与b的夹角θ= (　　)A.150°　　　B.120°　　　 C.60°　　　 D.30°11.(2021江苏张家港梁丰高中高一阶段性检测)已知单位向量a与b满足a·b=0,c=a+b,向量a与c的夹角为θ,则sin θ=              (　　)A.12.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若=-3,则cos∠DAB=　　　　. 题组五　向量的垂直13.在△ABC中,,则△ABC一定是 (　　)A.等边三角形　　　 B.锐角三角形C.直角三角形 　　　D.钝角三角形14.(2021湖北孝感高一下期中)已知非零向量m、n的夹角为θ,且4|m|=3|n|,cos θ=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为              (　　)A.4　　　B.-4　　　C.15.(2021福建三明高一下月考)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　. 能力提升练题组　向量数量积的综合应用1.(多选)(2020山东滕州一中高一下期中,)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的值可能为              (　　)A.　　　D.22.()已知△ABC的外接圆的圆心为O,若,且||=2,则向量上的投影向量为              (　　)A.3.(2021广东深圳中学高一下期中,)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,C=45°,P为线段CD(包括端点)上的动点,则的最小值为　　              (　　)A.8　　　B.12　　　C.20　　　D.304.(2020黑龙江哈尔滨六中高一期中,)已知O是△ABC所在平面内的一个定点,动点P满足,λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的              (　　)A.重心　　　B.垂心　　　C.外心　　　D.内心5.(2020安徽合肥一六八中学高一上期末,)已知△ABC中,,||=2,点M是线段BC(含端点)上一点,且·()=1,则||的取值范围是              (　　)A.(0,1]　　　B.6.(2021吉林吉华一中高一下期中,)已知|a|=2,|b|=1,且向量a在向量b上的投影向量为-b.则(1)a与b的夹角θ=　　　　; (2)若向量λa+b与向量a-3b互相垂直,则λ=　　. 7.(2020福建师范大学附属中学高一上期末,)如图,△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q,若||=3,||=5,则()·()的值为　　　　. 8.(2021江苏无锡一中高一下期中,)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在边CD上.(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,设+μ,求λ+μ的值;(2)若AB=2,当=1时,求cos∠EAF的值.         9.()如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°.(1)求||;(2)已知点D是AB上一点,满足,点E是边CB上一点,满足.①当λ=时,求;②是否存在非零实数λ,使得?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.            答案全解全析
基础过关练1.ACD　选项A中,a2=a·a=|a|·|a|·cos 0°=|a|2,A正确;选项B中,a·b与b·c都为实数,而c与a不一定共线,因此(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故B错;选项C中,a·(b+c)=a·b+a·c满足分配律,C正确;选项D中,|a·b|=|a|·|b||cos θ|≤|a|·|b|(其中θ为向量a与b的夹角),D正确.故选ACD.2.C　由已知,得e1·e2=|e1||e2|cos,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-,故选C.3.解析　(1)=-()=-=-.(2)(),∵,,∴.∴=- =-.4.A　设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=,则向量a在b上的投影向量为|a|cos θe=6×e=-4e.5.B　由题意,得(a+b)·a=a2+b·a=1+2×1×cos 60°=2.设向量a+b与向量a的夹角为θ,则向量a+b在向量a上的投影向量为|a+b|cos θa=·a=2a,故选B.6.答案　e1解析　依题意得|e1|=|e2|=1,|b|=2|e1|=2,且e1·e2=|e1||e2|cos ,所以a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6e1·e2=5,所以向量a在向量b上的投影向量为e1=e1.7.C　因为(4a+5b)2=16a2+40a·b+25b2=16×12+40×1×1×cos+25×12=21,所以|4a+5b|=,故选C.8.B　设a+b与c的夹角为θ,由题意知,a·b=0,则(c-a)·(c-b)=c2-(a+b)·c+a·b=c2-(a+b)·c=|c|2-|a+b|·|c|cos θ=0,因为c为非零向量,所以|c|=|a+b|cos θ≤|a+b|,易得|a+b|=,因此|c|的最大值为 .9.B　设向量a,b的夹角为θ,由|a|=1,|b|=2,a·b=1,得cos θ=,又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.故选B.10.B　由|b-a|=,得b2-2a·b+a2=16-2a·b+25=61,所以a·b=-10,所以cos θ=,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°,故选B.11.B　由题得a·c=a·(a+b)=a2+a·b=,|c|2=(a+b)2=7a2+2a·b+2b2=9,即|c|=3,所以cos θ=,所以sin θ=.12.答案　解析　∵,∴,∴.∵,∴==×42=-3,∴cos∠DAB=.13.C　由题可得,即·()=·(),即,∴=0,∴·()=0,即=0,即,∴BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形,故选C.14.B　由n⊥(tm+n)可得n·(tm+n)=0,则tm·n+n2=0,所以t=-=-=-4.故选B.15.答案　4解析　令=a,=b,由于a⊥b,所以以AD,AB为邻边的平行四边形ABCD为矩形.∵a+b+c=0,∴=c.∵(a-b)⊥c,=a-b,∴CA⊥BD,∴四边形ABCD为正方形.∴|a|=|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.能力提升练 1.AB　因为(a-c)·(b-c)≤0,所以a·b-c·(a+b)+c2≤0,又c为单位向量,a·b=0,所以c·(a+b)≥1,所以|a+b-c|== ==1,结合选项可知,A、B正确.2.A　因为△ABC的外接圆的圆心为O,且,所以O为BC的中点,即BC为外接圆的直径,所以∠BAC=90°,因为||=2,所以△AOC是边长为2的等边三角形,所以∠ACB=60°,∠ABC=30°,BC=4,|,所以向量.3.C　如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,C=45°,∴DE=1,DC=.设CP=x(0≤x≤),则=()·()==24-2(-x)-x(-x)=x2-6x+30,0≤x≤,易得当x=时,取得最小值,为20.故选C.4.C　设BC的中点为D,则,所以=,所以=λ,所以=λ=λ+=λ(-||)=0,所以.因为D为BC的中点,所以点P在BC的中垂线上,所以点P的轨迹一定通过△ABC的外心.故选C.5.D　如图,∵,∴四边形ABDC是矩形,其中,∴|·()=1,∴根据平面向量数量积的几何意义,知AN=(N为M在AD上的射影).因为矩形ABDC的对角线长恒为2,所以点N恒定,变化的是对角线BC与AD的夹角,因此,点M在C到CO的中点之间运动(其中O为两对角线的交点),此时AM的长从1(此时点M与点C重合)变化到(此时点M趋向于CO的中点),但取不到,而1能取到,故|.6.答案　(1)　(2)解析　(1)由题意知向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·=-b,所以=-1,故cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=.(2)由(1)得a·b=2×1×cos=-1.因为λa+b与a-3b互相垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=0,即λa2+(1-3λ)a·b-3b2=0,所以4λ-(1-3λ)-3=0,故λ=.7.答案　-16解析　∵,,∴()·()=(2)·.∵PQ为线段BC的垂直平分线,∴=0,∴()·()=2=()·()==9-25=-16.8.解析　(1)∵E是BC的中点,点F是CD上靠近C的三等分点,∴,,∴,∴λ=-,μ=,故λ+μ=-.(2)设(0≤m≤1),则,又,=0,∴·()=-m=-4m+2=1,故m=.∴=3+2=5,易得|,|,∴cos∠EAF=.9.解析　(1)∵,且=4,=1,=2×1×cos 60°=1,∴|=.(2)①当λ=时,,,∴D,E分别是边AB,BC的中点,∴,(),∴()==-.②存在.假设存在非零实数λ,使得,由,得=λ(),∴+λ()=λ+(1-λ).∵,∴=()+λ(-)=(1-λ).∴=λ(1-λ)+(1-λ)2-(1-λ)=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,解得λ=或λ=0(不合题意,舍去).故存在非零实数λ=,使得.