初中数学第三章 图形的相似2 探索三角形相似的条件优秀第2课时同步测试题

这是一份初中数学第三章 图形的相似2 探索三角形相似的条件优秀第2课时同步测试题，文件包含青岛版六三制小学数学五上第一单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、青岛版六三制小学数学五上第一单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
哪些最少条件足以保证两个三角形形状相同，又怎样把观察转化为可核查的判定证据链？
一、学习目标
1. 通过画图、比较与反例，理解两个三角形相似的三种判定条件，并能说出每种条件为什么足以锁定形状。
2. 能根据题目条件选择AA、SAS或SSS判定，按对应顶点顺序规范写出相似结论。
3. 能用完整证据链证明三角形相似，并由相似关系建立比例方程解决线段或角的问题。
二、重点
• 两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三种相似判定。
• 先确定对应关系，再按同一方向列比例并书写相似三角形。
三、难点
• 辨清SAS中的“夹角”边界，防止把比例边的对角误当夹角；在复杂图形中保持对应顺序不变。
学习支架
探究图：平行线怎样产生两组对应角
SAS条件边界：先圈边，再找共同端点
相似判定与应用的规范链条
1. 标出已知角、边、平行或公共角
2. 建立顶点对应表并统一比例方向
3. 逐条核对AA、SAS或SSS的全部条件
4. 按对应顺序写△…∽△…并注明判定
5. 由相似推出对应角或对应边比例
6. 列方程求解，再代回原比例或检查边界
四、知识要点
1. 从探究到判定一：两角分别相等（AA）
只固定一个角，三角形的另外两个角仍可改变。例如，一个三角形的角为60°、50°、70°，另一个为60°、40°、80°，它们有一个角相等却不相似，这就是有效反例。若两个三角形有两角分别相等，由三角形内角和为180°可知第三角也相等，于是三个角的对应关系被确定，形状随之确定。判定：两角分别相等的两个三角形相似。常见来源：已知角相等、对顶角相等、公共角、平行线形成的同位角或内错角、两个直角三角形另有一个锐角相等。使用时必须写出两组等角及其依据，不能只写“有角相等”。
2. 从探究到判定二：两边成比例且夹角相等（SAS）
判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。“夹角”是两组比例边共同端点处的角。例如已知AB/DE=AC/DF，比例边AB、AC共同端点为A，DE、DF共同端点为D，因此必须核对∠A与∠D。若只给∠B=∠E，这两个角分别是AC、DF的对角，不是上述比例边的夹角，不能套用SAS。规范检查可概括为“圈两边—找交点—验夹角”。边比方向要一致：AB/DE=AC/DF可以，AB/DE=DF/AC则混换了对应方向。
3. 从探究到判定三：三边成比例（SSS）
判定：三边成比例的两个三角形相似。必须先找出一套完整对应，再列出三个相等的比。例如AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，便得到A↔D、B↔E、C↔F，可写△ABC∽△DEF。判断时可以先把两组三边分别从小到大排列，寻找可能的统一比例，但正式证明仍要回到边名，写清三组对应边。若含未知数，先由两组边比建立方程，求解后还要检查第三组边比以及边长为正、能构成三角形等条件。
4. 规范表达：对应顺序就是推理索引
写△ABC∽△DEF等于同时声明A↔D、B↔E、C↔F。因此可推出∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，以及AB/DE=BC/EF=AC/DF。若实际对应是A↔D、B↔F、C↔E，就应写△ABC∽△DFE。完整证明链通常是：由已知推出两角相等或边成比例；指出使用的判定；按对应顺序写相似式；再引用相似三角形对应角相等或对应边成比例得到目标结论。每个箭头都要有依据，不能把待证结论写进已知条件。
五、典型例题
【例1】
例1（AA：由平行线到比例方程）在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AD=4，AB=10，DE=6，求BC。
【例2】
例2（SAS：夹角必须核准）在△ABC和△DEF中，AB=10，AC=12，DE=5，DF=6，∠A=∠D=90°，EF=√61。判断两个三角形是否相似；若相似，求BC。
【例3】
例3（SSS：先配边再写顺序）△ABC的三边为AB=6，BC=10，AC=8；△DEF的三边为DE=9，EF=15，DF=12。已知∠B=53°，求∠E。
【例4】
例4（递进综合：公共角、方程与边界）点D、E分别在∠A的两边AB、AC上，AB=12，AC=18，AD=x，AE=x+1，且x>0。（1）求x，使△ADE∽△ABC；（2）若此时DE=3，求BC。
同 步 练 习
SAS条件边界：先圈边，再找共同端点
相似判定与应用的规范链条
1. 标出已知角、边、平行或公共角
2. 建立顶点对应表并统一比例方向
3. 逐条核对AA、SAS或SSS的全部条件
4. 按对应顺序写△…∽△…并注明判定
5. 由相似推出对应角或对应边比例
6. 列方程求解，再代回原比例或检查边界
★ 基础巩固
1. 两个三角形各有一个60°角，所以这两个三角形一定相似。（ ）
2. 在△ABC和△DEF中，∠A=48°，∠B=72°，∠D=48°，∠E=72°，则△ABC∽△（________）。
3. 已知AB/DE=AC/DF，若要用SAS判定△ABC∽△DEF，还需补充的角条件是（________）。
4. △ABC三边长为4、6、8，△DEF三边长为6、9、x。若按从小到大三边分别对应且两三角形相似，求x。
5. 若△ABC∽△DFE，则∠B=∠F，边AC与边DE对应。（ ）
6. 若△ABC∽△DEF，AB=6，DE=9，EF=12，求BC。
7. 在两个三角形中，两边成比例，并且其中一组比例边所对的角相等，这两个三角形一定相似。（ ）
8. 两个直角三角形有一个锐角分别相等，则它们（________）相似；依据是（________）。
★★ 能力提升
D、E分别在AB、AC上，DE∥BC
9. 如图，在△ABC中，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC。证明：△ADE∽△ABC，并写出一组可由此得到的对应边比例。
两组比例直角边及其夹角
10. 在图中的两个直角三角形中，AB=10，AC=12，DE=5，DF=6。证明△ABC∽△DEF，并写出对应顶点。
11. △ABC的三边长为5、7、8，△DEF的三边长为10、14、2x+2，且最长边对应最长边。求x，并判断两个三角形是否相似。
核对角的位置
12. 小华的证明如下：“AB/DE=AC/DF，∠B=∠E，所以△ABC∽△DEF（SAS）。”指出错误，并写出一种能使结论成立的补充角条件。
已知三角形与对应边PQ
在给定线段PQ一侧完成△PQR，并在图旁写出两步作角和判定依据。
13. 已知图中的△ABC和线段PQ，且PQ=AB/2。以PQ为一边作△PQR，使△PQR∽△ABC，并要求P↔A、Q↔B。写出作图步骤和判定依据。
14. 逐项分类判断下列条件能否保证△ABC∽△DEF，并说明理由：①∠A=∠D，∠B=∠E；②AB/DE=AC/DF，∠A=∠D；③AB/DE=BC/EF=AC/DF；④AB/DE=AC/DF，∠B=∠E。
★★★ 拓展延伸
方格中的两组三角形
15. 方格中每小格边长为1。△ABC与△DEF均为直角三角形，数格可得AB=4，AC=6，DE=6，DF=9。（1）证明两三角形相似；（2）写出相似式和小三角形与大三角形的相似比；（3）若BC=2√13，求EF。
16. 在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD=∠C，AB=6，BC=9。（1）证明△BAD∽△BCA；（2）求BD；（3）若把条件“∠BAD=∠C”改为“∠BAD=∠B”，原相似结论是否仍必然成立？说明理由。
17. 点D、E分别在射线AB、AC上，AB=6，AC=8，AD=x，AE=x+1，x>0，且∠DAE=∠BAC。（1）按A↔A分类列出所有可能的SAS对应方式；（2）求使△ADE与△ABC相似的全部x；（3）说明为什么没有遗漏。
18. 同学甲说：“AA、SAS、SSS和全等三角形的ASA、SAS、SSS很像，只要把全等条件里的边相等都改成边成比例即可。”（1）这句话对AA与SSS的启发是什么？（2）为什么不能把“任意两边成比例且任意一角相等”当成相似判定？请给出具体反例条件；（3）写出你自己的判定选择口诀，但必须包含条件边界。
可以直接判定
不能据此直接判定
AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D。∠A、∠D分别是两组比例边的夹角，所以可用SAS。
AB/DE=AC/DF，但只知道∠B=∠E。∠B、∠E不是上述两组比例边的夹角，条件可能出现两种形状。
可以直接判定
不能据此直接判定
AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D。∠A、∠D分别是两组比例边的夹角，所以可用SAS。
AB/DE=AC/DF，但只知道∠B=∠E。∠B、∠E不是上述两组比例边的夹角，条件可能出现两种形状。
原证明
修正后
比例边：AB↔DE，AC↔DF；给出的角：∠B=∠E。
比例边共同端点：A↔D；应核对夹角：∠A=∠D。