初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件精品第1课时学案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件精品第1课时学案，共6页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第1课时 利用两角判定三角形相似
【学习目标】
1.类比三角形的全等判定定理的探究路径，去探索“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，了解此判定定理及定理的证明．
2.会利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，判定两个三角形相似，发展推理能力．
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．
学习重点：两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
学习难点：两角分别相等的两个三角形相似的判定定理的证明．
【复习导入】
问题1 这两个三角形有什么关系？
那这样变化一下呢？
问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？
问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？

【合作探究】
探究点：两角分别相等的两个三角形相似
如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？
如果有两个角分别相等呢？
[合作探究]
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β．此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变 ∠α，∠β 的大小，再试一试.
归纳总结：两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′．
[典例精析]
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC， AB = 7，AD = 5，DE = 10，求BC 的长.
[练一练]
1. 如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别做边 AB、AC 的垂线，垂足分别为点 E、F，DF 与 AB 交于点 H. 求证：△DHE∽△ABC．
[典例精析]
例2 例2 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E是AC上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.

当堂反馈
1.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( )
A.一定不相似B.不一定相似
C.一定相似D.不能确定是否相似
2.如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )
A.∠B＝∠DB.∠CAD＝90°
C.AD∥BCD.∠BAC＝∠D
3.已知∠1＝∠2，请添加一个条件： ，使△ABC∽△ADE.
4.如图，D是△ABC中AC边上的一点.
(1)若∠1＝ ，则△CBD∽△CAB；
(2)若∠2＝ ，则△CBD∽△CAB.
5.如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意两对相似三角形： .
6.如图，△ABC的高AD，BE相交于点F.求证：AFBF＝EFDF.

参考答案
【合作探究】
例1 解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴∆ADE∼∆ABC．两角分别相等的两个三角形相似）．
∴ADAB=DEBC．∴BC=AB·DEAD=7×105=14．
练一练
1. 证明: ∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠C，
∠A=∠FEC.
∴∆ADE∼∆EFC.
2. 证明 因为∠C=90°，所以BC⊥AC
因为DF⊥AC，所以DF∥BC.
从而∠DHE=∠B，
又DE⊥AB，所以∠DEH=90°=∠
因此∆DEH∼∆ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
例2
证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠3+∠DAC，∠1=∠3，
∴∠BAC=∠DAE。
∵∠C=180°−∠2−∠DOC，
∠E=180°−∠3−∠AOE，
∠DOC=∠AOE（对顶角相等），
∴∠C=∠E。
∴∆ABC∼∆ADE。
例3 解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°。又∠C=90°，∠A=∠A，
∴∆AED∼∆ABC。∴ADAC=AEAB。∴AD=AC·AEAB=8×510=4。
当堂反馈
1. C 2. A
3. ∠B＝∠D(答案不唯一)
4.(1) ∠CBA ；(2) ∠A .
5. △ADF∽△ECF，△EBA∽△ECF(或△ADF∽△EBA，写出其中两对即可) .
6.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°.
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD.∴AFBF＝EFDF.