北师大版（2024）九年级上册（2024）1 相似多边形优秀第1课时课时作业

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）1 相似多边形优秀第1课时课时作业，文件包含青岛版六三制小学数学五上第一单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、青岛版六三制小学数学五上第一单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样从角、边和书写顺序中确认两个多边形是否真正相似，并用相似比解决未知长度与周长问题？
一、学习目标
1. 理解对应角、对应边、成比例线段和相似多边形的含义，能按顺序写出对应关系。
2. 能够依据“对应角分别相等且对应边成比例”判定两个多边形相似，并说明只满足一个条件为何不够。
3. 掌握相似比的方向及相似多边形周长比等于相似比的性质，能列比例求未知长度并验算。
二、重点
• 建立准确的对应顶点顺序，同时核对对应角和对应边。
• 正确选择相似比方向，并用比例关系解决长度、周长问题。
三、难点
• 区分相似的定义与相似后的性质，避免由一组边比、角相等或周长比直接倒推相似。
学习支架
按1.5倍关系设置的两个相似矩形
相似多边形的对应关系核对表
性质与判定的边界
相似问题五步核验法
1. 按周界顺序写出对应顶点
2. 列出全部对应角并核对相等
3. 按同一方向列全部对应边比
4. 确定相似比方向并计算
5. 用另一组边比、交叉相乘或周长比验算
四、知识要点
1. 线段比与成比例线段
计算两条线段的比，必须先统一长度单位。例如AB=6 cm，CD=90 mm，先把CD化为9 cm，才有AB:CD=6:9=2:3。若a:b=c:d，则称a，b，c，d为成比例线段。比例式可以用交叉相乘检验：a×d=b×c；反过来，在a，b，c，d都不为0时，若a×d=b×c，也可写成a:b=c:d。这个工具用于检验“对应边是否成比例”，但一组比例成立还不能单独判定两个一般多边形相似。
2. 对应关系与相似多边形
若四边形ABCD与四边形EFGH按A↔E、B↔F、C↔G、D↔H对应，那么对应角是∠A与∠E、∠B与∠F、∠C与∠G、∠D与∠H；对应边是AB与EF、BC与FG、CD与GH、DA与HE。各对应角分别相等、各对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形，可记作四边形ABCD∽四边形EFGH。字母顺序本身就在表达对应关系，不能随意换位。判定一般多边形相似时，两类条件缺一不可：角相等控制形状的转折，边成比例控制各段的相对伸缩。
3. 相似比有方向
相似多边形对应边的比叫作相似比。若四边形ABCD∽四边形EFGH，并且AB:EF=2:3，那么从ABCD到EFGH的相似比k=2/3；从EFGH到ABCD的相似比是3/2。两者互为倒数，乘积为1。用相似比求未知边时，先统一“前比后”的方向，再把对应边写在同一位置，例如AB/EF=BC/FG，不能在等号一侧突然颠倒。全等图形的对应边相等，所以全等图形一定相似，且正反相似比都为1。
4. 相似多边形的周长比
若两个n边形相似，且第一图形每条边与第二图形对应边的比都为k，可写成a₁=k·b₁，a₂=k·b₂，…，aₙ=k·bₙ。逐项相加得a₁+a₂+…+aₙ=k(b₁+b₂+…+bₙ)，所以第一图形周长/第二图形周长=k。结论是：相似多边形的周长比等于相似比。它是“已知相似”后可使用的性质；两个多边形周长恰好成某个比，并不能保证各组对应边都按该比伸缩，更不能保证对应角相等。
五、典型例题
【例1】
例1 已知五边形ABCDE∽五边形PQRST，对应顺序为A↔P、B↔Q、C↔R、D↔S、E↔T。五边形ABCDE的边长依次为6 cm、8 cm、10 cm、7 cm、9 cm；五边形PQRST的边长依次为9 cm、12 cm、15 cm、10.5 cm、13.5 cm。写出全部对应角、对应边，并求两个方向的相似比。
【例2】
例2 在矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=5 cm；在矩形EFGH中，EF=12 cm，FG=7.5 cm。对应顺序取A↔E、B↔F、C↔G、D↔H。判断两个矩形是否相似；若相似，求四边形ABCD与四边形EFGH的相似比及周长比。
【例3】
例3 四边形ABCD∽四边形EFGH，已知AB=6 cm，BC=9 cm，CD=12 cm，DA=8 cm，EF=10 cm，FG=15 cm，GH=x cm，HE=y cm。求x、y，并分别用另一组对应边验算。
【例4】
例4 一个矩形活动区长60 m、宽40 m。在它外侧修建边带：左右两侧边带各宽6 m，上下两侧边带各宽x m，得到外矩形。若外矩形与活动区按长边对应长边、短边对应短边相似，求x，并验证周长比等于相似比。
同 步 练 习
性质与判定的边界
相似问题五步核验法
1. 按周界顺序写出对应顶点
2. 列出全部对应角并核对相等
3. 按同一方向列全部对应边比
4. 确定相似比方向并计算
5. 用另一组边比、交叉相乘或周长比验算
★ 基础巩固
1. 1. 已知四边形ABCD∽四边形WXYZ，则∠B的对应角是（________），边CD的对应边是（________）。
2. 2. 五边形ABCDE∽五边形PQRST，AB=10 cm，PQ=15 cm。五边形ABCDE与五边形PQRST的相似比是（________），反向相似比是（________）。
3. 3. 四边形ABCD∽四边形EFGH，AB=10 cm，EF=15 cm，FG=18 cm。求BC。
4. 4. 两个四边形有一组对应边的比相等，就能判定它们相似。（________）（ ）
5. 5. 任意两个矩形的对应角都相等，因此任意两个矩形都相似。（________）（ ）
6. 6. 若四边形ABCD∽四边形EFGH，请把对应边比例补充完整：AB/EF=（________）/FG=CD/（________）=DA/HE。
7. 7. 六边形ABCDEF∽六边形PQRSTU，前者与后者的相似比为3/5。若AB=9 cm，求PQ，并写出后者与前者的相似比。
8. 8. 两个全等多边形一定相似，并且相似比为1。（________）（ ）
9. 9. 两个相似多边形的相似比为3:5，较小多边形的周长为21 cm。求较大多边形的周长。
10. 10. 两个四边形的周长比为2:3，所以这两个四边形一定相似。（________）（ ）
★★ 能力提升
11. 11. 已知五边形ABCDE∽五边形PQRST。下列对应关系正确的是（________）。
A. ∠B与∠R B. CD与QR
C. DE与ST D. EA与PQ
12. 12. 要依据定义判定两个一般五边形相似，必须确认（________）。
A. 有一组对应角相等
B. 各对应边成比例
C. 各对应角分别相等且各对应边成比例
D. 周长成比例
矩形边长数据（单位：cm）
13. 13. 表中三个图形都是矩形，边按周界顺序记录。判断矩形ABCD分别与矩形EFGH、矩形MNPQ是否相似，并说明理由。
坐标按2:3设置的两个直角三角形
14. 14. 如图，△ABC中AB=8 cm、AC=6 cm、BC=10 cm；△DEF中DE=12 cm、DF=9 cm、EF=15 cm。已知∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，且A↔D、B↔E、C↔F。依据相似多边形定义判断两三角形是否相似；若相似，求△ABC与△DEF的周长比。
按2:1补画相似四边形
15. 15. 方格中每小格表示1个单位。四边形ABCD的顶点为A(1,1)、B(4,1)、C(4,3)、D(2,4)。以A′(7,1)为对应起点，在边方向不变的条件下，按四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比2:1作图，并写出B′、C′、D′的位置。
16. 16. 一张活动标牌的设计稿是长24 cm、宽16 cm的矩形，电子屏显示区域是长90 cm、宽60 cm的矩形。判断两矩形是否相似；若相似，分别求设计稿与显示区域、显示区域与设计稿的相似比，并计算两个矩形的周长。
★★★ 拓展延伸
17. 17. 某矩形展区长60 m、宽40 m。左右两侧各增加6 m宽的通道，上下两侧各增加x m宽的通道，形成外矩形。若外矩形与原展区相似，且长边对应长边，求x；再说明仅知道内外矩形周长比为6:5，能否反过来直接判定它们相似。
18. 18. 矩形ABCD的相邻边长为6 cm和4 cm。另一个矩形EFGH的相邻边长为9 cm和x cm（x>0）。题目没有预先规定哪条边对应哪条边。求所有使两个矩形相似的x值，并分别写出一种对应顺序和相似比。
对象
怎样对应
相似时满足什么
常见混淆
对应角
对应顶点处的内角，如∠A与∠E
分别相等
不是只找一组相等角
对应边
连接对应顶点的边，如AB与EF
同方向的长度比都相等
不能把邻边和对边随意配对
相似比
前一个多边形的边÷后一个多边形的对应边
各组取值相同
交换先后顺序要取倒数
由相似可以推出的性质
判定一般多边形相似
对应角相等；对应边成比例；周长比等于相似比。
必须同时核对对应角分别相等和对应边成比例；仅有周长比、一组角或一组边比都不够。
由相似可以推出的性质
判定一般多边形相似
对应角相等；对应边成比例；周长比等于相似比。
必须同时核对对应角分别相等和对应边成比例；仅有周长比、一组角或一组边比都不够。
不充分
定义判定
只检查角、只检查边或只比较周长。
对应角逐一相等，并且对应边同方向成比例。
矩形
第一边
第二边
第三边
第四边
四个内角
ABCD
8
5
8
5
均为90°
EFGH
12
7.5
12
7.5
均为90°
MNPQ
10
6
10
6
均为90°