初中3 相似三角形判定定理的证明精品第3课时当堂达标检测题

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本课核心问题
怎样用一条或两条有目的的辅助线，把“两个一般三角形相似”转化为“一个内接三角形与原三角形相似、再与目标三角形全等”的证据链？
一、学习目标
1. 能按已知—构造—依据—结论的顺序，完整说明三个相似三角形判定定理的证明。
2. 能解释每条辅助线的目的，识别并纠正循环论证、夹角错位和对应边错配。
3. 能区分“证明定理”与“应用定理”，在多种对应关系中分类穷举并规范书写。
二、重点
• 用等长截取和平行线构造中间三角形，把待证相似转化为已知相似与全等。
• 三个判定定理证明之间的先后依赖：平行线比例事实→两角判定→两边夹角判定→三边判定。
三、难点
• 在不引用待证结论的前提下，为每个关键结论找到合法依据，并保持顶点、边、角的对应次序一致。
学习支架
定理证明证据链
1. 已知：只写题设给出的角、边或比例条件
2. 构造：截取等长线段，作教材明确的平行线或连接线
3. 依据：平行线性质、截线比例、已证判定、全等判定
4. 中间结论：先得到相似或全等的桥梁三角形
5. 最终结论：借助传递关系回到原来两个三角形
两角判定证明的桥梁图
证明定理与应用定理
四、知识要点
1. 证明起点：平行线提供比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。作用：在证明中，平行线不是装饰。它一方面制造同位角或内错角相等，另一方面制造对应线段比例，为相似或全等搭桥。写比例式前先按同一顶点顺序配对，不能把分子、分母的对应关系写乱。
2. 两角判定的证明：用比例与全等搭桥
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。求证：△ABC∽△A′B′C′。构造：在AB或其延长线上截取AD=A′B′；过D作DE∥BC，交AC于E；过D作DF∥AC，交BC于F。依据链：由DE∥BC得AD/AB=AE/AC；由DF∥AC得AD/AB=CF/CB，所以AE/AC=CF/CB。又因DE∥BC、DF∥AC，四边形DFCE是平行四边形，DE=CF，于是AD/AB=AE/AC=DE/BC。再由平行线得到∠ADE=∠B、∠DAE=∠BAC、∠AED=∠C，说明△ADE与△ABC对应边成比例、对应角一致。结合∠A=∠A′、∠ADE=∠B=∠B′、AD=A′B′，可判定△ADE≌△A′B′C′，从而借助对应角与传递关系得到△ABC∽△A′B′C′。边界：这里不能写“因为两角分别相等，所以△ABC∽△A′B′C′”，因为这正是待证定理。
3. 两边夹角判定的证明：先相似，再全等
已知：∠A=∠A′，AB/A′B′=AC/A′C′。求证：△ABC∽△A′B′C′。构造：在AB或其延长线上截取AD=A′B′，过D作DE∥BC交AC于E。依据链：由平行线得∠B=∠ADE、∠C=∠AED，于是可引用已经证明的两角判定，得△ABC∽△ADE，所以AB/AD=AC/AE。又由已知与AD=A′B′，有AB/AD=AC/A′C′。比较两式得AC/AE=AC/A′C′，从而AE=A′C′。再结合AD=A′B′、∠DAE=∠A=∠A′，由边角边得△ADE≌△A′B′C′，最终△ABC∽△A′B′C′。边界：相等角必须是两组比例边的夹角。
4. 三边判定的证明：把三组比例压缩为全等
已知：AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′。求证：△ABC∽△A′B′C′。构造：在AB、AC或其延长线上分别截取AD=A′B′、AE=A′C′，连接DE。依据链：由AB/A′B′=AC/A′C′及截取得AB/AD=AC/AE，且∠BAC=∠DAE，因此引用已证的两边夹角判定，得△ABC∽△ADE，进而AB/AD=BC/DE。又由AB/A′B′=BC/B′C′及AD=A′B′，得AB/AD=BC/B′C′。比较可得BC/DE=BC/B′C′，所以DE=B′C′。这样AD=A′B′、AE=A′C′、DE=B′C′，由边边边得△ADE≌△A′B′C′，最终△ABC∽△A′B′C′。核心不是“添一条DE”，而是复制目标三角形的两条边，再证明第三条边也被复制。
5. 规范证明与自检
一份可复核的证明至少回答四个问题：已知是什么？构造了什么？每个等角、比例、等长分别依据什么？最终结论怎样由中间结论到达？自检一：有没有引用正在证明的定理，形成循环论证？自检二：两边夹角判定中的角是不是夹角？自检三：相似式顶点顺序是否与边、角对应一致？自检四：若同一条件允许两种对应，是否逐一列出并验证，是否检查退化或重复情形？证明体现规则的层层建立：先承认基本事实和已有定理，再用逻辑推出新定理；应用则是在新定理已进入规则库后调用它。
五、典型例题
【例1】
例1 不引用“两角分别相等的两个三角形相似”这一待证结论，证明：若在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，则△ABC∽△A′B′C′。
【解答】已知：∠A=∠A′，∠B=∠B′。构造：在AB或其延长线上截取AD=A′B′；过D作DE∥BC，交AC于E；过D作DF∥AC，交BC于F。依据1：DE∥BC，所以AD/AB=AE/AC；DF∥AC，所以AD/AB=CF/CB。故AE/AC=CF/CB。依据2：DE∥BC、DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，DE=CF。于是AD/AB=AE/AC=DE/BC。依据3：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C；且∠DAE=∠BAC。中间三角形△ADE与△ABC保持对应角一致、对应边成比例。依据4：∠DAE=∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，所以△ADE≌△A′B′C′。结论：由全等得到∠AED=∠C′，而∠AED=∠C，所以∠C=∠C′；结合已知角的对应关系及中间三角形的传递关系，得△ABC∽△A′B′C′。
【点拨】这是“证明定理”：必须从平行线比例、平行四边形和全等出发，不能把待证的两角判定写成依据。
【例2】
例2 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。已知∠A=∠A′，AB/A′B′=AC/A′C′，求证△ABC∽△A′B′C′。
【解答】构造：在AB或其延长线上截取AD=A′B′，过D作DE∥BC交AC于E。因为DE∥BC，所以∠B=∠ADE，∠C=∠AED。两角判定已经在例1中证明，故△ABC∽△ADE。因此AB/AD=AC/AE。由AB/A′B′=AC/A′C′且AD=A′B′，得AB/AD=AC/A′C′。比较可得AC/AE=AC/A′C′。线段AC>0，所以AE=A′C′。又AD=A′B′，∠DAE=∠A=∠A′，由边角边得△ADE≌△A′B′C′。所以△ABC∽△A′B′C′。
【点拨】先用已证的两角判定得到比例，再把一条“未知是否等长”的边AE逼成A′C′，最后用全等封桥。
【例3】
例3 证明：三边成比例的两个三角形相似。已知AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′，求证△ABC∽△A′B′C′。
【解答】构造：在AB、AC或其延长线上分别截取AD=A′B′、AE=A′C′，连接DE。由AB/A′B′=AC/A′C′及AD=A′B′、AE=A′C′，得AB/AD=AC/AE。又∠BAC=∠DAE，所以由已经证明的两边成比例且夹角相等判定，得△ABC∽△ADE。于是AB/AD=BC/DE。另一方面，由AB/A′B′=BC/B′C′及AD=A′B′，得AB/AD=BC/B′C′。比较两式：BC/DE=BC/B′C′。因BC>0，得DE=B′C′。现在AD=A′B′、AE=A′C′、DE=B′C′，由边边边得△ADE≌△A′B′C′。所以△ABC∽△A′B′C′。
【点拨】三组比例先转化为△ABC与△ADE的两边夹角条件，再把第三组比例转化成DE=B′C′。
【例4】
例4 如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AD=6，DB=3，AE=8。证明△ADE∽△ABC，并求AC。
【解答】因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB。两角判定已经证明，因此△ADE∽△ABC。对应边为AD↔AB，AE↔AC，所以AD/AB=AE/AC。AB=AD+DB=6+3=9，故6/9=8/AC，解得AC=12。答：△ADE∽△ABC，AC=12。
【点拨】这是“应用定理”：核对两组对应角后可直接引用两角判定，不需要重新证明判定定理。
同 步 练 习
定理证明证据链
1. 已知：只写题设给出的角、边或比例条件
2. 构造：截取等长线段，作教材明确的平行线或连接线
3. 依据：平行线性质、截线比例、已证判定、全等判定
4. 中间结论：先得到相似或全等的桥梁三角形
5. 最终结论：借助传递关系回到原来两个三角形
证明定理与应用定理
★ 基础巩固
1. 1. 在证明两边夹角判定时，过D作DE∥BC后，可得∠B=（________），∠C=（________）；由已经证明的（________）判定，可得△ABC∽△ADE。
2. 2. 为证明“两角分别相等的两个三角形相似”，小明写：因为∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以△ABC∽△A′B′C′。这段证明完整且没有逻辑问题。（________）（ ）
3. 3. 下列任务中，属于“应用已经证明的判定定理”的是（________）。
A. 已知两角分别相等，要求从基本事实出发证明两角判定
B. 已知DE∥BC，利用两组对应角相等判定△ADE∽△ABC
C. 为证明三边判定，在AB、AC上截取等长线段并连接DE
D. 研究为什么两边夹角判定中的相等角必须是夹角
4. 4. 若AB/A′B′=AC/A′C′，且∠B=∠B′，就一定能用“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△A′B′C′。（________）（ ）
5. 5. 三边判定证明中，截取AD=A′B′、AE=A′C′并连接DE。先由AB/AD=AC/AE与∠BAC=∠DAE，得到（________）；再由比例比较得到DE=（________），于是△ADE≌△A′B′C′。
补作平行辅助线
过点D作BC的平行线，与AC相交于点E；在图上标出E并写DE∥BC。
6. 6. 补图并写出构造语句：为证明两边成比例且夹角相等的判定，已在AB上截取AD=A′B′。请补作教材证明中唯一需要的平行辅助线，并标出交点E。
7. 7. 已知△ABC∽△PQR，且对应关系为A↔P、B↔Q、C↔R。下列比例式书写正确的是（________）。
A. AB/PQ=AC/QR
B. AB/PR=BC/PQ
C. AB/PQ=BC/QR=AC/PR
D. AB/QR=BC/PR=AC/PQ
★★ 能力提升
第8题图
8. 8. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。已知AD=4，AB=10，AE=6。先证明△ADE∽△ABC，再求AC。要求每个关键结论写出依据。
9. 9. 下面是证明两角判定的一段错误书写：“已知∠A=∠A′、∠B=∠B′。因为两角分别相等的两个三角形相似，所以△ABC∽△A′B′C′。”请指出错误类型，并写出可接受的修正路线，不必展开全部比例计算。
三边判定证明补图
在AB、AC上分别标出D、E，使AD=A′B′、AE=A′C′，再连接DE。
10. 10. 为重建三边判定的证明，完成补图并写构造：在△ABC的两边上选取D、E，使中间三角形△ADE复制△A′B′C′的两条边。然后说明为什么必须连接DE。
第11题图
11. 11. 在△ABC和△PQR中，AB=6，AC=9，PQ=8，PR=12，且∠A=∠P。证明两三角形相似，并写出准确的相似式。
12. 12. 将下列语句整理成规范证明，不得只写序号：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③∠B=∠ADE，∠C=∠AED；④两角分别相等的两个三角形相似；⑤D、E分别在AB、AC上。
13. 13. 已知两个三角形的三边分别为4、6、8和6、9、12。判断它们是否相似，并说明这是“证明定理”还是“应用定理”。
★★★ 拓展延伸
第14题图
14. 14. 分类穷举：在△ABC和△PQR中，∠B=∠Q，AB=6，BC=9，PQ=4，QR=x。若两三角形相似，求x的所有可能值，并分别写出对应关系、相似式和检验过程。
第15题作答骨架
1. 写已知与求证，声明本问不能直接引用三边判定
2. 截取AD=A′B′、AE=A′C′并连接DE
3. 用两边夹角判定得到△ABC∽△ADE
4. 比较两条比例链，推出DE=B′C′
5. 用边边边全等连接△ADE与△A′B′C′
6. 完成最终相似结论并解释第（2）问为何可直接引用定理
规范证明书写区
15. 15. 综合证明与反思：（1）不直接引用“三边成比例的两个三角形相似”，证明：若AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′，则△ABC∽△A′B′C′。（2）定理证明完成后，面对边长为6、8、10和9、12、15的两个三角形，应怎样最简洁地判断相似？（3）比较两问所用依据，说明为什么第（2）问直接引用三边判定不是循环论证。
参 考 答 案
第1题：∠ADE；∠AED；两角分别相等的两个三角形相似
【解析】平行线先提供两组对应角相等，再调用此前已经证明的两角判定。这里引用的是旧定理，不是正在证明的两边夹角判定。
第2题：×
【解析】这正是把待证定理作为依据，属于循环论证。必须退回到平行线比例、平行四边形和全等判定等此前成立的事实。
第3题：B
【解析】B中两角判定已经完成证明，任务只是核对条件后调用。A、C是在建立定理，D是在研究定理边界。
第4题：×
【解析】两组比例边AB、AC的夹角是∠A，而题目给的是∠B=∠B′，不是夹角条件，不能使用该判定。
第5题：△ABC∽△ADE；B′C′
【解析】第一空调用已证的两边夹角判定，第二空把原三边比例与相似所得比例对照，得到第三边相等。
第6题：过点D作DE∥BC，交AC于点E。
【解析】这条平行线同时制造∠ADE=∠B、∠AED=∠C，使△ABC与△ADE可由已证的两角判定相似。
第7题：C
【解析】按顶点对应，AB↔PQ，BC↔QR，AC↔PR，只有C始终保持对应次序。
第8题：△ADE∽△ABC，AC=15。
【解析】因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角或内错角相等）。所以△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。对应边AD↔AB，AE↔AC，故AD/AB=AE/AC。代入得4/10=6/AC，解得AC=15。这是应用定理：两角判定已经证明，核对条件后可以直接引用。
第9题：错误类型：循环论证。修正路线：在AB或其延长线上截取AD=A′B′；过D作DE∥BC交AC于E，再过D作DF∥AC交BC于F；由平行线比例、平行四边形性质得到所需比例和DE=CF，再证明△ADE≌△A′B′C′，最后借助对应角与传递关系得到△ABC∽△A′B′C′。
【解析】“待证命题”和“所引依据”完全相同，所以没有建立新结论。修正时必须退回到本定理之前已成立的平行线事实、平行四边形性质与全等判定。
第10题：在AB、AC或其延长线上分别截取AD=A′B′、AE=A′C′，连接DE。连接DE后才形成△ADE，才能先用两边成比例且夹角相等判定△ABC∽△ADE，并继续比较比例推出DE=B′C′。
【解析】D、E的位置和DE的连接均服务于证据链：复制两边→形成中间三角形→得到相似→推出第三边相等→得到全等。
第11题：△ABC∽△PQR。
【解析】AB/PQ=6/8=3/4，AC/PR=9/12=3/4，所以AB/PQ=AC/PR。∠A是AB、AC的夹角，∠P是PQ、PR的夹角，且∠A=∠P。由两边成比例且夹角相等，得△ABC∽△PQR。对应关系为A↔P、B↔Q、C↔R。
第12题：因为D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，所以∠B=∠ADE，∠C=∠AED。由两角分别相等的两个三角形相似，得△ABC∽△ADE。
【解析】规范顺序是对象位置与已知→平行线产生等角→引用定理→相似结论。每个箭头都要能回答“依据是什么”。
第13题：相似；这是应用三边判定定理。
【解析】4/6=6/9=8/12=2/3，三组对应边成比例，所以两个三角形相似。这里三边判定已经在本课完成证明，当前只需核对三组边的对应关系后直接引用，属于应用定理。
第14题：可能值有两个：6，8/3。
【解析】相等角B、Q都是各自两条已知边的夹角，但夹角两侧的边可能有两种对应，必须穷举。情况一：AB↔PQ，BC↔QR。由AB/PQ=BC/QR，得6/4=9/x，解得x=6。检验：6/4=9/6=3/2，且∠B=∠Q，所以△ABC∽△PQR。情况二：AB↔QR，BC↔PQ。由AB/QR=BC/PQ，得6/x=9/4，解得x=8/3。检验：6/(8/3)=9/4，且∠B=∠Q，所以对应关系A↔R、B↔Q、C↔P，△ABC∽△RQP。两种对应均合法，x均为正，且两个值不同；没有第三种夹角两侧边的配对方式，因此答案完整。数学思想：通过分类讨论穷举对应关系；把“是否相似”转化为比例方程，体现转化化归；每一情况都明确使用已证的两边夹角判定，体现从既有规则推出结论的公理化思想。
第15题：（1）按教材构造中间三角形并完成相似—全等证据链；（2）直接用三边判定得两三角形相似；（3）第（1）问建立规则，第（2）问调用已建立规则。
【解析】（1）已知三组对应边成比例。在AB、AC或其延长线上分别截取AD=A′B′、AE=A′C′，连接DE。由AB/A′B′=AC/A′C′及截取关系，得AB/AD=AC/AE；又∠BAC=∠DAE，所以由已证的两边成比例且夹角相等判定，得△ABC∽△ADE。于是AB/AD=BC/DE。另一方面，由AB/A′B′=BC/B′C′及AD=A′B′，得AB/AD=BC/B′C′。比较得BC/DE=BC/B′C′，因BC>0，所以DE=B′C′。于是AD=A′B′、AE=A′C′、DE=B′C′，由边边边得△ADE≌△A′B′C′，最终△ABC∽△A′B′C′。（2）6/9=8/12=10/15=2/3，所以由三边判定，两三角形相似。（3）第（1）问的目标是建立三边判定，因此不能引用它自身，只能用更早成立的两边夹角判定和全等判定；第（1）问完成后，三边判定已经成为可用规则，第（2）问核对条件后直接调用，逻辑起点与终点不同，不是循环论证。数学思想：第（1）问把一般的两三角形相似问题转化为“构造中间三角形→先相似→再全等”，体现转化化归；三个判定定理按先后次序建立，后一定理只调用前一定理和已有基本事实，体现公理化思想与演绎体系。证明定理
应用定理
目标是建立一个新规则；不能引用它自身，必须用此前成立的事实，经构造完成证明。
规则已经证明；核对全部条件和对应关系后，可以直接引用并推出相似。
证明定理
应用定理
目标是建立一个新规则；不能引用它自身，必须用此前成立的事实，经构造完成证明。
规则已经证明；核对全部条件和对应关系后，可以直接引用并推出相似。