北师大版（2024）九年级上册（2024）第二章 一元二次方程4 一元二次方程的应用精品第4课时巩固练习

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本课核心问题
怎样把一段真实情境翻译成一元二次方程，并判断方程的根中哪些才是可信的实际答案？
一、学习目标
1. 能够从真实情境中选择未知量，用含x的式子表示相关数量并列出一元二次方程。
2. 能够按“审题设元—列方程—求解—检验—情境作答”完整解决直角几何和销售利润问题。
3. 能够逐根检查取值范围、长度、位置、售价和销量，说明两个根都取、取一个或都不取的理由。
二、重点
• 从变化规则中找出等量关系并建立一元二次方程。
• 对方程的根作代数检验和情境检验，形成规范作答。
三、难点
• 把方向、速度、调价与销量变化转化为含x的数量关系，并根据多个实际约束分类取舍根。
学习支架
实际问题六步建模链
1. 审题：圈出对象、单位、变化和目标
2. 设元：写清x的意义与范围
3. 表示：用x表示相关数量
4. 列方程：依据等量关系列式
5. 求解与检验：逐根代回并检查约束
6. 情境作答：写结论、单位和取舍理由
销售利润模型的数量翻译
自设梯子模型：墙面与地面垂直，OA=15m，OB=8m，AB=17m
四、知识要点
1. 从情境到方程：先把数量关系说完整
解决实际问题不是先猜方程，而是先确认“谁在变、怎样变、什么保持不变、目标是什么”。设x时必须写单位和范围，例如“设每件降价x元，0≤x≤5”。再把每个相关数量写成含x的式子，最后依据一个明确等量关系列方程。求得根后还要回到原题；完整链条是：审题设元→表示数量→列方程→求解→检验→情境作答。
2. 直角几何路程模型：三边表达式进入勾股关系
梯子、垂直道路或方向航行情境中，先确定直角在哪里，再写三条边。若斜边长度为L，两直角边分别为a(x)、b(x)，则依据勾股定理列a(x)^2+b(x)^2=L^2。若某段路程本身是斜边x，则可列x^2=a^2+b(x)^2。检验时至少检查：x是否满足移动方向；每条边是否为正；相遇点是否仍在题设线段上。
3. 销售模型：单位利润×销量=总利润
销售问题先区分售价、进货价、单位利润、销量和总利润。若原单位利润为m元，降价x元后单位利润为m-x；若每降1元多售k件，原销量为q件，则新销量为q+kx。目标利润P对应方程(m-x)(q+kx)=P。若设最终售价为x元，则单位利润和销量都要重新用x表示。两种设元形式不同，但描述同一业务关系。
4. 根的取舍：代数候选还要接受情境筛选
第一层检验是把根代回方程；第二层检验是变量范围；第三层检验是关联量与情境逻辑，如长度、销量不能为负，降价量不能超过限定范围，相遇点必须在线段上。两个根可能对应两种可行方案，也可能只有一个可行；无实根或所有根都越界时，应回答“按题设模型没有可行方案”，不能强行选一个数。
五、典型例题
【例1】
例1（自设完整条件）一架长17m的检修梯斜靠在与地面垂直的墙上，起初梯顶离地15m，梯脚离墙8m。梯子长度保持不变，梯顶下滑x m，梯脚同时向外移动x m。若确实发生了滑动，求x。
【解答】审题设元：设梯顶下滑且梯脚外移x m，因此x>0。表示数量：滑动后梯顶离地(15-x)m，梯脚离墙(8+x)m，斜边仍为17m。列方程：由墙面与地面垂直，得(15-x)^2+(8+x)^2=17^2。求解：展开得225-30x+x^2+64+16x+x^2=289，即2x^2-14x=0。因式分解得2x(x-7)=0，所以x1=0，x2=7。检验：x=0虽满足方程，但表示没有发生滑动，与“确实发生了滑动”不符，舍去；x=7时两直角边为8m和15m，均为正，且8^2+15^2=17^2，符合题意。情境作答：梯顶下滑7m时，梯脚向外移动同样的7m。
【点拨】方程根0常表示“没有变化”的初始状态；题干若要求变化已经发生，就要据此舍根。
【例2】
例2（自设完整条件）一家社区电器店销售空气循环扇，每台进货价120元。售价为180元时平均每天售出80台；在售价不低于160元的调查范围内，每降低1元，平均每天多售出2台。若希望日销售利润为4992元，每台应定价多少元？
【解答】审题设元：设每台降低x元。由180-x≥160，得0≤x≤20。表示数量：降价后售价为(180-x)元，单位利润为180-x-120=60-x元，日销量为(80+2x)台。列方程：(60-x)(80+2x)=4992。求解：4800+40x-2x^2=4992，整理得x^2-20x+96=0，即(x-8)(x-12)=0，所以x1=8，x2=12。检验：x=8和x=12都在[0,20]内。对应售价分别为172元、168元，销量分别为96台、104台；52×96=4992，48×104=4992，两种方案均满足利润目标和调查范围。情境作答：每台可定价172元或168元。
【点拨】两个根都符合时不能擅自舍去；它们对应两种不同的定价—销量组合。
【例3】
例3（自设完整条件）某湿地巡护区内，直线步道MN与堤岸PQ垂直，交点为F。巡护艇从D点直线驶向E点，航程为x km；巡检车同时沿堤岸和步道行驶，路程是巡护艇的2倍。已知DF=20km，车到达E点前需行驶的最后一段EF=(65-2x)km，且E在线段PF上，所以65-2x>0。求巡护艇航程，结果精确到0.1km。
【解答】审题设元：巡护艇航程为x km，x>0，且65-2x>0，所以00。求x，结果精确到0.1km。
3. 3. 文创店一款纪念册每本进货价48元，售价68元时每天售出120本。调查显示，在售价不低于60元时，每降价1元每天多售10本。若目标日利润为2560元，应降价多少元？
4. 4. 校园书展一本科普书进价30元，售价50元时每天售出200本。售价每提高2元，预计每天少售10本，且这种关系在售价不超过64元时成立。若日利润要达到4480元，有哪些定价方案？
5. 5. 面包坊一款面包每个成本6元，售价10元时每天售出300个。在售价10元至13元的调查范围内，每涨价1元每天少售40个。若日利润为1300元，售价是多少？
6. 6. 校园用品店一支环保笔进价5元，售价8元时每天售出200支。售价每提高0.5元，预计每天少售20支。店主希望日利润达到650元。按这个调查模型能实现吗？
7. 7. 影院小食套餐每份成本12元，售价20元时每天售出80份。每降价1元，预计每天多售10份。若目标日利润为600元，设每份降价x元，正确的方程是（________）。
A. (8-x)(80+10x)=600
B. (20-x)(80+10x)=600
C. (8+x)(80-10x)=600
D. (20-12x)(80+x)=600
8. 8. 一条25m长的应急绳索从楼顶固定点斜拉到地面锚点，起初竖直高度20m、水平距离15m。调整时上端下移x m，地面锚点外移x m，绳长不变且发生了移动。求x。
9. 9. 生鲜店一箱水果成本30元，售价50元时每天售出200箱。调查表明，每箱降价1元，平均每天多售20箱，但店长规定降价不超过5元。若目标日利润为4480元，应怎样定价？
★★ 能力提升
10. 10. 某小剧场普通票60元时平均每场售出400张。调查显示，在票价46元至60元之间，每降价2元平均多售20张。若希望每场票款收入为24840元，有哪些票价方案？比较两种方案的售票量。
11. 11. 社区咖啡店一杯饮品成本8元，售价15元时每天售出200杯。在售价15元至18元的调查范围内，每涨价1元每天少售20杯。若希望日利润为1440元，售价应是多少？
自设完整条件：DF=40m，DF⊥FE，DE=x m，FE=(130-2x)m，E在线段上
12. 12. 某园区有两条互相垂直的巡检通道。机器人从D直线驶向E，路程为x m；已知DF=40m，FE=(130-2x)m，且E必须位于F左侧的通道线段上，所以130-2x>0。求机器人直线路程，结果精确到0.1m。
13. 13. 书店一款笔记本每本成本15元，售价25元时每天售出300本。每降价1元每天多售30本。小林设降价x元，列出(10-x)(300+30x)=2880，解得x=2或x=-2，并说两种降价方案都可行。请判断并纠正。
14. 14. 农产品礼盒每盒成本40元，售价70元时每天售出100盒。在售价70元至90元内，每涨价5元每天少售10盒。若日利润为3200元，改设最终售价为x元，列方程并求售价。
★★★ 拓展延伸
15. 15. 家居店一款台灯每盏成本50元，售价70元时每周售出400盏。试销数据显示，在售价70元至80元内，每涨价2元每周少售20盏。店方希望周利润达到8960元。(1)不考虑售价上限时，方程给出哪些候选方案？(2)结合试销范围确定实际定价，并说明另一个根为什么舍去。
16. 16. 某景区停车场日均收费20元时约有500辆车使用。调查显示，在收费20元至25元范围内，每提高1元，日均车辆减少20辆。管理方希望日收费收入为10080元，同时为满足周边商户需求，日均车辆不得少于450辆。(1)仅按收入目标求候选收费标准；(2)结合车辆下限确定方案；(3)若取消车辆下限，两种方案各有什么数量特点？
参 考 答 案
第1题：方程根为x=0或x=7；x=0不合“发生滑动”，舍去。因此情境答案为x=7，即梯顶下滑7m、梯脚向外移动7m。
【解析】设元：x>0。滑动后两直角边分别为(15-x)m、(8+x)m。列方程：(15-x)^2+(8+x)^2=17^2。求解：整理得2x^2-14x=0，解得x=0或x=7。检验：x=0表示未滑动，与x>0不符；x=7时两直角边为8m、15m，满足勾股关系。作答：应取x=7，即各移动7m。
第2题：方程根为x=25或x=185/3；x=185/3使65-2x0；x≈61.7时FE0，所以0