初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件课后测评

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件课后测评试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．黄金分割（比值约为0.618）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点AB>BC，若横画AC的长为2cm，则AB的长为（结果保留到0.1cm）（ ）
A．0.8cmB．1cmC．1.2cmD．1.6cm
2．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD>BD），AB=2，则AD的长是（ ）
A．1B．5−1C．3−5D．5−12
3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么下列说法错误的是（ ）
A．线段AB被点C黄金分割B．点C是线段AB的黄金分割点
C．AB与AC的比等于黄金比D．AC与AB的比等于黄金比
4．如图是一片叶子，P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，则 PBPA=( )
A．PAABB．ABPBC．PAPBD．PA2AB2
5．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6． 已知△ABC 的三边长为2，5，6，若△DEF∽△ABC，则△DEF 的三边长可能为 ( )
A．3，6，7B．6，15，18C．3，8，9D．8，10，12
7．如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足BPAP=APAB，若AB=2，则AP的长为（ ）
A．5−1B．5+1C．5+2D．0.618
8．某观景平台为长方形，当短边与长边的比接近黄金比（约为0.618）时，视觉效果最佳．若该平台的长边为10m，为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为（ ）
A．3.82mB．5mC．6.18mD．7.2m
9．如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取 BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段 DC的黄金分割点的条件是( )
A．HC=CE.B．DH=2CE.C．DH=HE.D．DH=2CE.
10．如图，标号分别为①，②，③，④的四个三角形的顶点都在方格纸的格点上，下列选项中，两个三角形相似的是（ ）
A．①④B．①③C．②③D．②④
二、填空题
11．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝ ．
12．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“sl”．如图，若瓶高AB=10cm，且敲击时发出音阶“sl”，则液面高度AC为 cm．（结果保留根号）
13．黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列.如图，点B是AC的黄金分割点（AB>BC）， 若AC的长度为8cm， 那么AB的长度是 .
14．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即：BE2=AE·AB，已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
15．数学中，把5−12这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 cm．
三、解答题
16．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
17． 如图， 在等腰直角 △ABC 中， ∠ACB=90∘,AC=BC， ∠BAC、∠ACB 的平分线 AE、CD 相交于点 F.
（1） 求证： △ACF∽△ABE.
（2） 若 AF=2， 求 AE 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点AB>BC，
∴ABAC=5−12≈0.618，
∵横画AC的长为2cm，
∴AB≈0.618AC=0.618×2=1.236≈1.2cm，
故选：C．
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD)，AB=2，
∴AD=5−12×2=5−1．
故答案为：B．
【分析】根据黄金比5−12计算即可．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ACAB=BCAC，
∴线段AB被点C黄金分割，点C是AB的黄金分割点，AC与AB的比等于黄金比，
∴C不正确，A，B，D正确.
故选：C.
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，
∴PBPA=PAAB，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割点的定义解答即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、6−39−7=32，96=32，∠A=∠A，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：△ABC的三边的比为2：5：6，
A：因为3：6：7≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
B：因为6：15：18=2：5：6，所以△DEF与△ABC相似；
C：因为3：8：9≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
D：因为 8：10：12=4：5：6≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
故答案为：B.
【分析】根据三边对应成比例的两三角形相似判断解答即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点，即P点满足BPAP=APAB，∴AP为较长线段，
由APAB=5−12，AB=2得AP=5−12×2=5−1，
故答案为：A．
【分析】题目要求根据黄金分割比例的定义进行计算。黄金分割比的数学表达式为：
APAB=5−12，这个比值约为0.618。解题时只需直接应用这个已知的黄金分割比值即可得出答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设短边长度为xm，
∵短边与长边的比接近黄金比0.618，
∴x10≈0.618，解得x≈6.18，
故选：C．
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴设AB=BC=CD=AD=a，∠DCB=90°，
∵BC的中点H，
∴BH=HC=12BC=12a，
∴DH=HC2+CD2=(12a)2+a2=52a，
选项A：∵HC=CE，正方形CEFG，
∴CE=CG=HC=12a，
∴DG=CD−CG=12a，
∴DGCD=12，CGCD=12，
故选项A不符合题意；
选项B：∵DH=2CE，
∴CE=12DH=54a，
∵正方形CEFG，
∴CE=CG=54a，
∴DG=CD−CG=a−54a=4−54a，
∴DGCD=4−54aa=4−54，CGCD=54aa=54，
故选项B不符合题意；
选项C：∵DH=HE，DH=52a，
∴HE=52a，
∴CE=HE−HC=52a−12a=5−12a
∵正方形CEFG，
∴CE=CG=5−12a，
∴DG=CD−CG=a−5−12a=3−52a，
∴DGCD=3−52aa=3−52，CGCD=5−12aa=5−12，
当CGCD=5−12，选项C符合题意；
选项D：∵DH=2CE，DH=52a，
∴CE=104a，
∵正方形CEFG，
∴CE=CG=104a，
∴DG=CD−CG=a−104a=4−104a，
∴DGCD=4−104aa=4−104，CGCD=104aa=104，
故选项D不符合题意．
故答案为：C .
【分析】先设正方形ABCD的边长为a，可求出BC、DH、CH，然后根据选项给的条件结合正方形CEFG判断DGCD=5−12或者CGCD=5−12即可求解．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：第一个三角形的边长分别为： 10,5,5;
第二个三角形的边长分别为： 5,22,17;
第三个三角形的边长分别为： 2,2,10;
第四个三角形的边长分别为：3， 2,5;；
对应边成比例的是①和③.
故答案为：B.
【分析】可分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可.
11．【答案】3−5
【解析】【解答】解：因为点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
所以APAB=5−12．
因为AB＝2，
所以AP＝5−1，
所以BP＝AB−AP＝2−（5−1）＝3−5．
故答案为：3−5．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
12．【答案】(55−5)
【解析】【解答】解：根据题意可得，AC10=5−12，
解得AC=55−5，
故答案为：(55−5)．
【分析】根据题意可得AC10=5−12，即可得液面高度AC．
13．【答案】45−4
【解析】【解答】解：∵B为AC的黄金分割点(AB>BC)
∴AB=5−12AC
∵AC=8
∴AB=5−12×8=45−4
故答案为：45−4.
【分析】由黄金分割点的定义可知AB=5−12AC，代入数据即得结果.
14．【答案】5−1
【解析】【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE2=AE⋅AB，
∴AEBE=BEAB=5−12．
∵AB=2米，
∴BE=（5−1）米．
故答案为：5−1．
【分析】
根据题目给出的黄金分割关系，代入数值即可解答.
15．【答案】12−45
【解析】【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，
∴APAB=5−12
∴AP=5−12×8=45−4
∴BP=AB−AP=12−45
故答案为：12−45
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
16．【答案】解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段
【解析】【分析】他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，则x：1.70=0.618，然后解方程即可．
17．【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠B=45°
∵CD是 AB边上的中线，
∴∠ACD=12∠ACB=45°
∴∠ACD=∠B
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB=AC2+BC2=2AC，
∴ABAC=2
∵△ACF∽△ABE，
∴AEAF=ABAC=2
∵AF =2
∴AE=22
【解析】【分析】(1)根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE，再由等腰直角三角形的性质可得∠ACD=∠B，即可求证；
(2)根据勾股定理可得AB=2AC，再由相似三角形的性质，即可求解.