九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件精品第4课时学案设计

这是一份九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件精品第4课时学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，归纳总结，典例精析等内容，欢迎下载使用。
第4课时 黄金分割
【学习目标】
1.理解黄金分割的概念．
2.探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算．
3.感受黄金分割所蕴含的文化价值，发展学生应用意识和审美意识．
学习重点：应用黄金分割解决实际问题.
学习难点：会推导黄金比，能够运用相似三角形证明某个点是一条线段的黄金分割点．
【复习导入】
通过观察，你觉得下面那副图最有美感？


【合作探究】
探究点：黄金分割的概念
一个五角星如下图所示.
(1) 从图中找出相等的角、相等的线段.
(2) 在图中找出两对相似比不同的相似三角形.


小亮认为，你同意他的看法吗？说说你的理由.
【归纳总结】
【典例精析】
例1 计算黄金比.
画一画
1.如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图：
①经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = eq \f(1,2) AB.
②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB.
③在 AB 上截取 AC = AE.
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗？
尝试·思考
下图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗?



[典例精析]
例2 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感. 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
练一练
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( )
(A) 12.36 cm (B) 13.6 cm
(C) 32.36 cm (D) 7.64 cm
2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm）
3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm，DC =_______cm.

当堂反馈
1.已知线段AB＝2，点C是AB的一个黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长是( )
A.5－12B.5－1
C.3－52D.3－5
2.如图①是古希腊时期的帕提侬神庙，把图中虚线表示的矩形画成图②中的矩形ABCD，以AD为边在其内部作正方形AEFD，我们发现点E是线段AB的黄金分割点(AE＞BE)，据此可求得比值BEAB为( )
A.5－12B.3－52C.5－22D.12
3.已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝2(5－1)，则原线段AB的长为 .
4.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB＞AD).若这个矩形为黄金矩形(宽与长之比等于黄金比5－12).
(1)求该矩形的长.
(2)求该矩形的面积.(结果保留根号)
5.在人体躯干上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近0.618，越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比值为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？(精确到十分位)
参考答案
【合作探究】
探究点：黄金分割的概念
问题：
度量、计算
易证 ∆ACD∼∆AGC.∴ ACAG=ADAC∵AG=AB，AD=BC∴ ACAB=BCAC
例1
解：由 ACAB=BCAC，得 AC2=AB·BC.
设 AB=1，AC=x，则 BC=1−x.
∴ x2=1×(1−x)，即 x2+x−1=0.
解这个方程，得 x1=−1+52，x2=−1−52 （不合题意，舍去）.
所以，黄金比 ACAB=5−12≈0.618.
思考：
令BD=12，则AD=12+122=52，AC=AE=52−12
=5−12，BC=1−AC=1−5−12=3−52；
∴ACAB=5−121=5−12，BCAC=3−525−12=3−52·25−1
=3−55−1=(3−5)(5+1)(5−1)(5+1)=25−24=5−12，
∴ACAB=BCAC。∴ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点。
例2
离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m
练一练
1. A
2. 6.2
3.由黄金分割定义可知，AC=BD=5−12×AB=(405−40) cm，AD=AB−BD=(120−405) cm，
所以 DC=AC−AD=(805−160) cm。
当堂反馈
1.B
2. B
3. 4 .
4.
解：(1)设AB＝xcm，则AD＝(20－x)cm.
由题意得20－xx＝5－12，解得x＝105－10.
经检验，x＝105－10是原方程的根，即AB＝(105－10)cm.
答：矩形的长为(105－10)cm.
(2)∵AB＝(105－10)cm，
∴AD＝20－(105－10)＝(30－105)(cm).
∴(105－10)×(30－105)＝(4005－800)(cm2).
答：该矩形的面积为(4005－800)cm2.
5.
解：根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96(cm).
设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得96+x160+x＝0.618，解得x≈7.5.
故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.