数学九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件优秀第3课时学案

这是一份数学九年级上册（2024）2 探索三角形相似的条件优秀第3课时学案，共6页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第3课时 利用三边判定三角形相似
【学习目标】
1.理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法．
2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
学习重点：掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”.
学习难点：判定方法的推导及运用.
【复习导入】
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？

【合作探究】
探究点：三边成比例的两个三角形相似
[操作·交流]
(1) 任意画 △ABC .
(2) 再画△A′B′C′，使 ABA′B′，BCB′C′和ACA′C′ 都等于给定的值 k.
(3) 量出∠A 和 ∠A' (∠B 与∠B' 或 ∠C 与∠C′ ) 的大小. ∠A＝∠A' 吗？
△ABC 和 △A'B'C' 相似吗？
(4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？




归纳总结：三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：∵ABA′B′=BCB′C′=CAC′A′，∴△ABC∽△A′B′C′．
[典例精析]
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．

(2) AB=2， BC=2， AC=10， A'B'=2，B'C'=1， A'C'=5.
[归纳总结]
[典例精析]
例2 如图，在△ABC和△ADE中，，∠BAD = 20°，求∠CAE的度数.
找出图中相等的角.
例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且
求证：△A′B′C′∽△ABC.
[尝试·交流]
如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？
[练一练]
1. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是 （ ）
A. ∆PAB∼∆PCA B. ∆PAB∼∆PDA
C. ∆ABC∼∆DBA D. ∆ABC∼∆DCA
2. 如图，∆ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：∆ABC∼∆EFD。

当堂反馈
1.如图，当x为何值时，△ABC∽△A1B1C1( )
A.20B.27C.36D.45
2.已知△ABC的三边长分别为4cm、5cm、6cm，△A'B'C'的一边长为8cm.若△ABC∽△A'B'C'，则△A'B'C'的另外两边长分别可以是( )
A.4cm，6cmB.8cm，10cm
C.10cm，12cmD.12cm，14cm
3.已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，则△ABC与△DEF (填“相似”或“不相似”).
4.如图甲，小正方形的边长均为1，则图乙中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的
是图 (填序号).
5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，则图中与△ABC相似的三角形共有 个，它们是 .
6.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14km，AD＝28km，BD＝21km，BC＝42km，DC＝31.5km，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.
参考答案
【合作探究】
探究点：三边成比例的两个三角形相似
例1 (1) 解：在△ABC中，AB＞BC＞CA，在△DEF中，DE＞EF＞FD．
∵DEAB=2.44=0.6，EFBC=，FDCA=1.83=0.6，∴DEAB=EFBC=FDCA．
∴△ABC∽△DEF．
(2) 解：∵ABA'B'=22=2 ， BCB'C'=21=2 ， ACA'C'=105=2，
∴ ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'. ∴∆ABC∼∆A'B'C'.
例2 解：∵ ABAD=BCDE=ACAE，
∴∆ABC∼∆ADE （三边成比例的两个三角形相似）。
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即 ∠BAD=∠CAE。
∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°。
例3
证明：由已知条件得AB=2A'B'，AC=2A'C'，
∴BC2=AB2−AC2=(2A'B')2−(2A'C')2
=4A'B'2−4A'C'2=4(A'B'2−A'C'2)
=4B'C'2=(2B'C')2。
∴BC=2B'C'，B'C'BC=12=A'B'AB=A'C'AC
∴∆A'B'C'∼∆ABC。
练一练 1. C
2.证明：∵∆ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB。
∴DEAC=DFBC=EFAB=12。∴∆ABC∼∆EFD。
当堂反馈
1. C 2. C 3. 相似 4. ②
5. 4 ， △ADF，△BDE，△CEF，△DEF .
6.解：公路AB与CD平行.理由如下：
∵ABBD＝1421＝23，ADBC＝2842＝23，BDDC＝2131.5＝23，
∴ABBD＝ADBC＝BDDC.
∴△ABD∽△BDC.
∴∠ABD＝∠BDC.∴AB∥DC.