初中数学4 相似三角形的性质优秀第4课时课堂检测

这是一份初中数学4 相似三角形的性质优秀第4课时课堂检测，文件包含青岛版六三制小学数学五上第一单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、青岛版六三制小学数学五上第一单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
已知两个三角形相似，怎样先认准对应关系，再用一个相似比统一解决边、特殊线段、周长和面积问题？
一、学习目标
1. 理解并能准确表述相似三角形对应边、对应高、对应角平分线、对应中线及周长的比都等于相似比。
2. 掌握相似三角形面积比等于相似比平方，并能完成由相似比求面积比、由面积比反求相似比的双向计算。
3. 能够在平行截线、比例模型和面积分割问题中确定对应顺序，列比例式或方程逐步求解并验算。
二、重点
• 按相似记号的顶点顺序确定所有对应关系。
• 区分线性量、周长的比k与面积比k²，并用比例式解决问题。
三、难点
• 在复合图形中找出相似三角形，将局部线段表示成整体量之差，并选择正确方向建立比例方程。
学习支架
对应顺序与对应高
相似三角形性质分类表
易错对比：面积比不是相似比
比例计算五步法
1. 判定或确认两个三角形相似
2. 按相似记号写对应顶点
3. 判断所求是线性量、周长还是面积
4. 同方向列k或k²的比例式并逐步解方程
5. 代回比例，并用边界或独立关系验算
四、知识要点
1. 先定对应，再写相似比
若△ABC∽△DEF，记号顺序给出A↔D、B↔E、C↔F。因此AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。任何比例式都应保持同一方向：左边写第一个三角形的量，右边也写第一个三角形的量。图形即使旋转、翻转或大小相近，对应关系仍由相似记号和已知角决定，不能凭视觉位置猜。边界提醒：性质是“相似三角形推出对应量成比例”。只知道一组高或一组边的比，并不足以反推两个三角形相似；需要另有相似判定依据。
2. 对应特殊线段都按k变化
在两个相似三角形中，对应高、对应角平分线、对应中线的比都等于相似比。原因是作出这些线段后，可以利用对应角相等或中点关系得到新的相似三角形，再把所求线段转化为对应边。统一记忆为：凡是只表示一个方向长度的对应线段，都是线性量，按k变化。必须强调“对应”：从A顶点作出的高要与从D顶点作出的高对应；若线段来自不对应顶点，不能直接套用k。
3. 周长按k变化，面积按k²变化
周长是三条对应边的和。若三组对应边都扩大为原来的k倍，则周长也扩大为原来的k倍，所以P△ABC/P△DEF=k。面积可写成“1/2×底×高”。对应底边的比为k，对应高的比也为k，因此S△ABC/S△DEF=k×k=k²。由面积比反求相似比时，设k>0，再取正平方根。例如面积比为25:9，则同方向的相似比为5:3。分类：已知k求线性量或周长，用一次比例；已知k求面积，用平方比例；已知面积比反求长度，用正平方根。
4. 复合图形中的转化、比例与方程
遇到平行截线或重叠图形，先找出局部三角形与整体三角形：平行线常提供两组对应角相等，从而判定相似。再把局部高度、底边或面积写成整体量之间的关系。规范过程：①判相似；②写对应；③设未知量；④按k或k²列比例式；⑤逐行解方程；⑥代回验算。若局部高为AE、整体高为AD，而所求是DE，则先写AE=AD-DE，再代入比例。这样就把几何线段问题转化成代数方程问题。
五、典型例题
【例1】
例1 已知△ABC∽△DEF，AB=6，BC=8，AC=10，DE=9。写出三个顶点的对应关系，并求EF、DF。
【解答】由相似记号可知：A↔D，B↔E，C↔F。所以AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF。相似比（△ABC与△DEF）为
k=AB/DE=6/9=2/3。列对应边比例：BC/EF=2/3，8/EF=2/3，2EF=24，EF=12。同理，AC/DF=2/3，10/DF=2/3，2DF=30，DF=15。验算：8/12=10/15=2/3，与6/9相同，所以对应顺序和结果一致。
【点拨】先竖排写顶点对应，再配边；不要把图形摆放位置当作对应依据。
【例2】
例2 △ABC∽△A′B′C′，相似比AB/A′B′=3/5。从A、A′分别向对应底边作高AD、A′D′。若AD=9 cm，求A′D′。
【解答】AD与A′D′是对应高，所以
AD/A′D′=AB/A′B′=3/5。代入AD=9 cm：9/A′D′=3/5。交叉相乘：3A′D′=9×5，3A′D′=45，A′D′=15 cm。验算：9/15=3/5，与相似比同向一致。
【点拨】对应高、对应中线、对应角平分线都属于线性量；比例方向必须和题设相似比一致。
【例3】
例3 △MNP∽△XYZ，MN/XY=4/7。若△MNP的周长为24 cm、面积为48 cm²，求△XYZ的周长和面积。
【解答】相似比（△MNP与△XYZ）为k=4/7。一、求周长。P△MNP/P△XYZ=4/7，24/P△XYZ=4/7，4P△XYZ=24×7，P△XYZ=42 cm。二、求面积。S△MNP/S△XYZ=k²=(4/7)²=16/49，48/S△XYZ=16/49，16S△XYZ=48×49，S△XYZ=147 cm²。验算：24/42=4/7；48/147=16/49，分别符合k与k²。
【点拨】同一个相似比作用于不同维度：周长用k，面积用k²。
【例4】
例4 两个相似三角形的面积比为81:25，较大三角形的一条中线长18 cm。求较小三角形的对应中线长，并辨析“中线比也为81:25”是否正确。
【解答】设较大三角形与较小三角形的相似比为k。由面积比等于相似比的平方，得
k²=81/25。因为长度为正，所以
k=√(81/25)=9/5。对应中线的比等于相似比，因此
18/x=9/5。9x=18×5，x=10 cm。验算：18/10=9/5；(9/5)²=81/25。“中线比也为81:25”不正确，因为中线是线性量，应取面积比的正平方根。
【点拨】逆向计算先写k²，再结合k>0取算术平方根，可避免把面积比直接当长度比。
【例5】
例5 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12 cm。点S、R分别在AB、AC上，SR∥BC，SR=6 cm，BC=9 cm，SR与AD交于E。求DE。
【解答】因为SR∥BC，所以∠ASR=∠ABC，∠ARS=∠ACB。因此△ASR∽△ABC。AE、AD分别是这两个相似三角形的对应高，所以
AE/AD=SR/BC=6/9=2/3。又因为AE=AD-DE，所以
(12-DE)/12=2/3。逐步解方程：3(12-DE)=24，36-3DE=24，3DE=12，DE=4 cm。验算：AE=12-4=8 cm，8/12=2/3=6/9，结果成立。
【点拨】转化：把DE转化为AD-AE；比例：对应高比等于相似比；方程：用(AD-DE)/AD=SR/BC求解。
同 步 练 习
相似三角形性质分类表
易错对比：面积比不是相似比
比例计算五步法
1. 判定或确认两个三角形相似
2. 按相似记号写对应顶点
3. 判断所求是线性量、周长还是面积
4. 同方向列k或k²的比例式并逐步解方程
5. 代回比例，并用边界或独立关系验算
★ 基础巩固
1. 1. 已知△ABC∽△DEF，则与AB、BC、AC依次对应的边是（________）、（________）、（________）。
2. 2. △ABC∽△A′B′C′，AB/A′B′=2/3，对应中线AM=8 cm。求A′M′。
3. 3. 两个相似三角形的相似比为1:4，它们的面积比为1:4。（________）（ ）
4. 4. 两个相似三角形的面积比为49:16，则同方向的周长比是（________）。
A. 7:4 B. 49:16
C. 7:8 D. ±7:4
5. 5. 两个相似三角形的相似比为5:8，较小三角形的周长为35 cm。求较大三角形的周长。
相似三角形数量表
6. 6. 根据表中数据，若两个三角形相似，则表内未知量x=（________），y=（________）。
7. 7. 两个三角形的一组高之比为2:3，所以它们的周长比一定为2:3。（________）（ ）
8. 8. △ABC∽△DEF，AB/DE=3/2，S△DEF=24 cm²。求S△ABC。
9. 9. 若△ABC∽△DEF，则比例式AB/EF=BC/DE成立。（________）（ ）
★★ 能力提升
10. 10. △甲∽△乙，相似比（甲:乙）为2:5。下面四名同学的说法中，正确的是（________）。
A. 对应角平分线之比为2:5，面积比为4:25
B. 对应中线之比为4:25，面积比为2:5
C. 周长比为4:25，面积比为2:5
D. 对应高之比为5:2，面积比为25:4
11. 11. △ABC∽△DEF，A、D是对应顶点。两三角形从A、D出发的对应角平分线长分别为12 cm和18 cm。若△ABC的周长为28 cm，求△DEF的周长。
12. 12. 两块相似的三角形标牌，对应边之比（小:大）为3:7。大标牌的周长为84 cm、面积为1960 cm²。求小标牌的周长和面积。
朝向不同的两个相似三角形
13. 13. 如图，△ABC∽△DEF，且A↔D、B↔E、C↔F。已知AB=10，BC=12，AC=14，DE=15。求△DEF的周长和面积比S△ABC:S△DEF。
14. 14. 一个三角形模型按1:250的比例制作。模型上一边长8 cm，这条边上的高为6 cm。求实物对应边长、对应高及这部分三角形的实际面积。
15. 15. 在△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC上。AD=6，DB=4，DE=9。求BC，并求S△ADE:S△ABC。
16. 16. 两个相似三角形的面积差为135 cm²，面积比（大:小）为25:16。求两个三角形的面积，并求它们的周长比。
★★★ 拓展延伸
平移后的重叠三角形
17. 17. 将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，点E在线段BC上，连接EG，且EG∥AB，G在AC上。重叠部分△EGC的面积是原△ABC面积的36%。若BC=10 cm，求平移距离BE。
平行截线与面积分割
18. 18. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知四边形DBCE的面积是△ADE面积的8倍，BC=18 cm，AB=15 cm。求DE和AD，并写出完整验算。
参 考 答 案
第1题：DE，EF，DF
【解析】按相似记号写A↔D、B↔E、C↔F，因此两个端点同时对应：AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF。
第2题：12 cm
【解析】AM/A′M′=2/3，所以8/A′M′=2/3，2A′M′=24，A′M′=12 cm。验算：8/12=2/3。
第3题：×
【解析】面积比等于相似比的平方，应为1²:4²=1:16。
第4题：A
【解析】设相似比为k>0，则k²=49/16，所以k=7/4。周长比等于相似比，选A。B没有开平方，C没有保持同方向，D忽略了长度比为正。
第5题：56 cm
【解析】35/P=5/8，5P=35×8，P=56 cm。验算：35/56=5/8。
第6题：x=15，y=144
【解析】对应高之比等于相似比3:5，所以x=9×5/3=15。面积比为(3/5)²=9/25，所以y=400×9/25=144。
第7题：×
【解析】缺少“两个三角形相似”的前提。一组高成比例不能单独判定三角形相似，因此不能套用周长比性质。
第8题：54 cm²
【解析】面积比=(3/2)²=9/4，所以S△ABC=24×9/4=54 cm²。验算：54/24=9/4。
第9题：×
【解析】AB对应DE，BC对应EF。正确的同向比例应为AB/DE=BC/EF。
第10题：A
【解析】对应角平分线、中线、高和周长都是线性量，同方向比为2:5；面积比为(2:5)²=4:25。思想点拨：把不同量先分类，是转化思想；用统一的k组织关系，是比例思想。
第11题：42 cm
【解析】对应角平分线比等于相似比，所以P△ABC/P△DEF=12/18=2/3。列方程28/P=2/3，2P=84，P=42 cm。验算：28/42=2/3。思想点拨：把角平分线比转化为周长比体现转化思想；列同向比例体现比例思想；求P体现方程思想。
第12题：周长36 cm，面积360 cm²
【解析】周长按k变化：84×3/7=36 cm。面积按k²变化：1960×(3/7)²=1960×9/49=360 cm²。验算：36/84=3/7，360/1960=9/49。思想点拨：将实物标牌转化为相似三角形模型；用k与k²分别建立比例；未知量也可通过比例方程求出。
第13题：△DEF周长54；面积比4:9
【解析】相似比（ABC:DEF）为10:15=2:3。P△ABC=10+12+14=36，所以36/P△DEF=2/3，P△DEF=54。面积比=(2/3)²=4/9。验算：54÷36=3/2，与边长放大倍数一致。思想点拨：由一组对应边转化为统一相似比，再分别控制周长和面积，体现转化、比例思想；求周长可列方程36/P=2/3。
第14题：对应边20 m，对应高15 m，实际面积150 m²
【解析】模型与实物的相似比为1:250。实物对应边=8×250=2000 cm=20 m；实物对应高=6×250=1500 cm=15 m。实际面积=1/2×20×15=150 m²。也可先求模型面积24 cm²，再乘250²并换算单位。思想点拨：把实物转化为相似模型；长度用一次比例、面积用平方比例；单位统一后再列式，体现转化、比例与方程思想。
第15题：BC=15，面积比9:25
【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。AB=AD+DB=6+4=10，相似比AD/AB=6/10=3/5。于是DE/BC=3/5，即9/BC=3/5，3BC=45，BC=15。面积比=(3/5)²=9/25。验算：9/15=3/5。思想点拨：先把平行关系转化为三角形相似，再用比例式和方程求BC，最后平方得到面积比。
第16题：每份x=15 cm²；大三角形面积375 cm²，小三角形面积240 cm²，周长比5:4
【解析】设每一份面积为x cm²，则大、小面积分别为25x、16x。列方程25x-16x=135，9x=135，x=15。所以大面积=25×15=375 cm²，小面积=16×15=240 cm²。由面积比25:16反求相似比为5:4，周长比也为5:4。验算：375-240=135，375:240=25:16。思想点拨：把面积比转化为份数；用比例思想确定25x、16x；用方程思想求每份，再由平方关系逆向求长度比。
第17题：4 cm
【解析】因为EG∥AB，所以△EGC∽△ABC，且对应边EC↔BC。设平移距离BE=x cm，则EC=BC-BE=10-x。由面积比等于相似比的平方，得
S△EGC/S△ABC=(EC/BC)²。代入36%=0.36：((10-x)/10)²=0.36。由于点E在线段BC上，0≤x≤10，且EC≥0，所以(10-x)/10=0.6。10-x=6，x=4。验算：EC=6，EC/BC=6/10=0.6，面积比=0.6²=0.36；BE+EC=4+6=10。思想点拨：把重叠面积转化为相似三角形面积比，体现转化思想；用面积比与相似比平方建立比例，体现比例思想；设平移距离并结合取值范围解方程、排除x=16，体现方程思想与分类检验。
第18题：DE=6 cm，AD=5 cm
【解析】设S△ADE为1份，则S四边形DBCE为8份，所以S△ABC=1+8=9份。因此S△ADE:S△ABC=1:9。因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。设相似比（ADE:ABC）为k>0，则
k²=1/9，k=1/3。对应边DE/BC=AD/AB=1/3。于是DE=18×1/3=6 cm，AD=15×1/3=5 cm。验算一：DE/BC=6/18=1/3，AD/AB=5/15=1/3，两组对应边比例一致。验算二：面积比=(1/3)²=1/9，所以四边形面积占整体8/9，恰是小三角形面积的8倍。分类说明：若把题目中的“8倍”理解为四边形面积是整体面积的8倍，将超过整体，矛盾；本题只能按“四边形与小三角形之比8:1”处理。思想点拨：先把四边形面积转化为“大三角形面积减小三角形面积”，体现转化思想；由1:9开平方得到1:3，体现比例思想；若设小三角形面积为x，也可列S整体=9x，体现方程思想。比较的量
正向结论
逆向提示
成立条件
对应边、对应高、对应中线、对应角平分线
比等于k
已知比即可得到同方向的k
两个三角形相似且线段对应
周长
周长比等于k
周长比就是同方向相似比
两个三角形相似
面积
面积比等于k²
相似比等于面积比的正平方根
两个三角形相似
k=1的边界
线性量比、周长比、面积比均为1
两个三角形全等
对应顺序仍要一致
错误路径
正确路径
△ABC∽△DEF，AB/DE=3，所以S△ABC/S△DEF=3。错误原因：把二维面积当成线性量。
先定k=AB/DE=3，再用面积比=k²，得到S△ABC/S△DEF=3²=9。
比较的量
正向结论
逆向提示
成立条件
对应边、对应高、对应中线、对应角平分线
比等于k
已知比即可得到同方向的k
两个三角形相似且线段对应
周长
周长比等于k
周长比就是同方向相似比
两个三角形相似
面积
面积比等于k²
相似比等于面积比的正平方根
两个三角形相似
k=1的边界
线性量比、周长比、面积比均为1
两个三角形全等
对应顺序仍要一致
错误路径
正确路径
△ABC∽△DEF，AB/DE=3，所以S△ABC/S△DEF=3。错误原因：把二维面积当成线性量。
先定k=AB/DE=3，再用面积比=k²，得到S△ABC/S△DEF=3²=9。
量
△甲
△乙
相似比（甲:乙）
3
5
对应高
9
x
面积
y
400
混用
分类
所有量都直接写2:5，或所有量都平方。
线性量与周长用k；面积用k²。