数学必修 第一册函数的基本性质综合训练题

这是一份数学必修 第一册函数的基本性质综合训练题，共7页。试卷主要包含了已知定义在∪上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列函数，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x|x|
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，则下列大小关系正确的是( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)0，且f(2)＝1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．
B级——重点培优
11．(多选)1837年，德国数学家狄利克雷(,1805—1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数”．由此引发了数学家们对函数性质的研究．下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q,0，x∈∁RQ))(Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是( )
A．D(x)是偶函数
B．∀x∈R，D(D(x))＝1
C．对于任意的有理数t，都有D(x＋t)＝D(x)
D．不存在三个点A(x1，D(x1))，B(x2，D(x2))，C(x3，D(x3))，使ABC为正三角形
12．小明在研究函数f(x)＝x＋eq \f(k,x)时，发现f(x)具有其中一个性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0，eq \r(k))上单调递减，在区间(eq \r(k)，＋∞)上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数g(x)＝x＋eq \f(a－1,x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，＋∞))，则实数a的值是____________．
13．已知函数y＝f(x)为奇函数，g(x)＝eq \f(1,2x)，若f(x)与g(x)图象仅有四个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则y1＋y2＋y3＋y4＝________.
14．(12分)如图，在等腰直角△ABC中，A(－3,0)，B(1,0)，记△ABC位于直线x＝t(t>－3)左侧的图形的面积为f(t)．
(1)试求函数y＝f(t)的解析式；
(2)已知函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知函数g(t)＝2t·f(t)－7t的定义域为[－1，m]，且－10)的图象形状如勾，因此我们称形如“y＝x＋eq \f(k,x)(k>0)”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在(0，eq \r(k))上单调递减，在(eq \r(k)，＋∞)上单调递增．
(1)已知函数f(x)＝2x＋eq \f(4,2x－1)－6，x∈[1,4]，利用题干性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)若对于∀x∈[1，＋∞)，都有g(x)＝eq \f(x2＋4x＋5,x＋1)≥m恒成立，求m的取值范围．
课时跟踪检测(二十四)
1．D 2.D
3．选C 因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1)．又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数．所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
4．选D 由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，
∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
5．选BC 法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选BC.
法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.
6．解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 024，故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 024.
答案：2 024
7．解析：∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).又函数f(x)为奇函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－(－2)＝2，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝2.
答案：2
8．解析：因为函数f(x)＝|x|的定义域为R，且f(－x)＝|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝|x|满足题意．
答案：f(x)＝|x|(答案不唯一)
9．解：(1)因为a>b，所以a－b>0.由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)>0，所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，即m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
10．解：(1)函数f(x)的定义域关于原点对称．
令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.∵当x>1时，f(x)>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))>0.而f(x2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1·\f(x2,x1)))＝f(x1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，∴f(4)＝2.
又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4]上单调递增，
∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，
∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)，
又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴原不等式又等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3x－2≠0，,|x3x－2|≥16，))
即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，
解得x≤－2或x≥eq \f(8,3)，
∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≤－2或x≥\f(8,3))))).
11．选ABC 由D(x)定义知，定义域关于原点对称，若x∈Q，则－x∈Q，若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，即有D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，A正确；由解析式知，∀x∈R，D(x)＝1或D(x)＝0，即D(D(x))＝1，B正确；任意的有理数t，当x∈Q时，x＋t∈Q即D(x＋t)＝D(x)，当x∈∁RQ时，x＋t∈∁RQ即D(x＋t)＝D(x)，C正确；若存在△ABC为正三角形，则其高为1，边长为eq \f(2\r(3),3)，所以当Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))，B(0,1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))时成立，存在满足题意的三个点，D错误．
12．解析：当a－1≤0，即a≤1时，g(x)＝x＋eq \f(a－1,x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，故当x＝eq \f(1,2)时，g(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋2(a－1)＝eq \f(a,3)，解得a＝eq \f(9,10)，满足题设；当a－1>0，即a>1时，若eq \r(a－1)≥eq \f(1,2)，即a≥eq \f(5,4)时，函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(a－1)))上单调递减，在(eq \r(a－1)，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(eq \r(a－1))＝eq \r(a－1)＋eq \f(a－1,\r(a－1))＝eq \f(a,3)，可得a＝18＋12eq \r(2)或a＝18－12eq \r(2)(舍去)；若eq \r(a－1)