人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第一课时导学案

第三章 函数的概念与性质

3.2.1单调性与最大（小）值

第1课时单调性的概念及证明

【课程标准】

1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．

2．掌握定义法证明函数单调性的步骤．

3．掌握函数单调区间的写法.

【知识要点归纳】

1、增函数与减函数的定义

说明：

（1）如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.此时称函数在区间上具有单调性.

（2）单调性是函数的局部性质

（3）任意性

（4）单调区间的写法：最好写成开区间

（5）多个单调区间用和连接

（6）等价变形：增函数，x1，x2∈D，且x1≠x2⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0.

减函数，x1，x2∈D，且x1≠x2⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0.

2.判断函数单调性的方法

（1）定义法                

（2）图象法：图象法判断函数单调性也就是看函数的图象从左到右是上升还是下降

总结：基本初等函数的单调区间如下表所示：

【经典例题】

例2 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.

例3求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

(1)f(x)＝－；    (2)f(x)＝

例4 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[跟踪训练]  函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.

已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．

(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．

例5　(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(　　)

A．f(a)＜f(2a)   B．f(a2)＜f(a)

C．f(a2＋1)＜f(a)   D．f(a2＋a)＜f(a)

(2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)

A．b＝3   B．b≥3 

C．b≤3   D．b≠3

(3)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．[函数值不等式]

(4)

[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．下列四个函数中，在上为增函数的是　　

A． B． C． D．

2．下列函数中，在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

3．已知函数是定义在，上的减函数，则当时，实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

4．当时，，则的单调递减区间是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

5．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围是　　．

6．函数的单调递增区间是　 　．

三．解答题（共1小题）

7．已知函数．

（1）判断函数在区间，上的单调性，并用定义证明你的结论；

（2）求该函数在区间，上的最大值与最小值．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．下列四个函数中，在上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】对选项逐一分析函数在上的单调性，由此选出正确选项．

【解答】解：对于选项，在上递减，不符合题意．

对于选项，在上递减，在上递增，不符合题意．

对于选项，在上为增函数符合题意．

对于选项，在上递减，不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查常见的函数单调性的基本判断，能利用常见结论进行初步的判断，考查单调性的定义，属于简单题．

2．下列函数中，在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

【分析】结合基本初等函数的性质分别检验各选项即可判断．

【解答】解：在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

在区间上单调递减，

故选：．

【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

3．已知函数是定义在，上的减函数，则当时，实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意可建立两个不等式 然后解不等式组即可求解．

【解答】解：由题意可得：，解得，

所以的取值范围为，

故选：．

【点评】本题考查了函数在已知区间上解不等式问题，涉及到函数的单调性，属于基础题．

4．当时，，则的单调递减区间是　　

A． B． C． D．

【分析】根据对勾函数的单调性进行求解即可．

【解答】解：根据对勾函数单调性，在上单调递减，

故选：．

【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，结合对勾函数的单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．

二．填空题（共2小题）

5．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围是　，　．

【分析】根据题意，求出函数的对称轴，若函数在区间，上是增函数，则，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数为二次函数，对称轴为，

若函数在区间，上是增函数，则，解可得；

即实数的取值范围为，；

故答案为：，．

【点评】本题考查二次函数的单调性的判断，注意分析函数的对称轴，属于基础题．

6．函数的单调递增区间是　，　．

【分析】去绝对值号得到，根据一次函数的单调性便可看出的单调递增区间为，．

【解答】解：；

时，单调递增；

的单调递增区间为，．

故答案为：，．

【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性，分段函数的单调性．

三．解答题（共1小题）

7．已知函数．

（1）判断函数在区间，上的单调性，并用定义证明你的结论；

（2）求该函数在区间，上的最大值与最小值．

【分析】（1）直接用函数单调性的定义证明即可；

（2）由（1）易得函数在，上的单调性，从而得到最值．

【解答】（1）证明：函数在，上是增函数．

证明如下：

任取，，，且，

，

，，

所以，即，

所以函数在，上是增函数．

（2）解：由（1）知函数在，上是增函数，

最大值（4），最小值（1）．

【点评】本题考查函数单调性的定义．利用函数单调性求最值，属于基础题．