高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第一课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第一课时学案设计，共15页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，例2-1，例2-2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．


（预习教材P76~ P81，回答下列问题）


问题：观察下列函数图象,体会它们的上升与下降的特点：



































在上面的六幅函数图象中,从左向右观察，图像的走势有何特点？





我们如何准确的描述函数图象的“上升”“下降”这一性质呢?


以二次函数的图像及某些的对应值表为例，


我们分别从图形语言和符号语言两个角度进行说明.


观察左图：


在区间上随着的增大，函数的图像呈现下降趋势（值逐渐减小）；


在区间上随着的增大，函数的图像呈现上升趋势（值逐渐增大）；

















观察上表：


（1）图像在的部分从左到右是下降的，可以表示为：任意取，


得到，，那么当时，有.


（2）图像在的部分从左到右是下降的，可以表示为：任意取，


得到，，那么当时，有.


函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.





【知识点一】函数单调性的定义


一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.相应的，区间则称为函数的单调增区间.


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.


（2）如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 相应的，区间则称为函数的单调减区间.


特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.





























自我检测1：函数，各有怎样的单调性？











【知识点二】函数单调区间的理解


如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．


注意：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.


自我检测2：请根据函数的图像描述该函数的单调性？








【知识点三】利用定义证明函数单调性的步骤

















注：作差变形是解题关键．


自我检测3：根据定义证明函数在区间上单调递减．























题型一 函数单调性的定义


【例1】定义在上的函数对任意两个不相等的，，总有，则必有( )


A．函数先增后减


B．是上的增函数


C．函数先减后增


D．函数是上的减函数


题型二 利用函数图像判断函数单调性


【例2-1】已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为( )


A．(－3,1)∪(1,4)


B．(－5，－3)∪(－1,1)


C．(－3，－1)，(1,4)


D．(－5，－3)，(－1,1)


【例2-2】函数，请描述函数的单调性 ．











题型三 利用定义法判断函数单调性


【例3】根据定义证明函数在区间上单调递增．














1． 函数的图象如图所示，则( )


A．函数在[－1,2]上是增函数


B．函数在[－1,2]上是减函数


C．函数在[－1,4]上是减函数


D．函数在[2,4]上是增函数


2．下列说法中正确的有( )


①若x1，x2∈I，当x1

②函数在R上是增函数；


③函数在定义域上是增函数；


④的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


3．函数在R上是减函数，则( )


A． B．


C． D．


4．函数的单调减区间是( )


A． B．


C． D．


5．用定义法证明函数在定义域内的单调性？





§3.2.1 单调性与最大（小）值（第一课时）参考答案


导学目标：


1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．


（预习教材P76~ P81，回答下列问题）


问题：观察下列函数图象,体会它们的上升与下降的特点：





























在上面的六幅函数图象中,从左向右观察，图像的走势有何特点？有的图象由左至右是上升的；有的图象是下降的；还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上升的.


我们如何准确的描述函数图象的“上升”“下降”这一性质呢?


以二次函数的图像及某些的对应值表为例，


我们分别从图形语言和符号语言两个角度进行说明.


观察左图：


在区间上随着的增大，函数的图像呈现下降趋势（值逐渐减小）；


在区间上随着的增大，函数的图像呈现上升趋势（值逐渐增大）；














观察上表：


（1）图像在的部分从左到右是下降的，可以表示为：任意取，


得到，，那么当时，有.


（2）图像在的部分从左到右是下降的，可以表示为：任意取，


得到，，那么当时，有.


函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.





【知识点一】函数单调性的定义


一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.相应的，区间则称为函数的单调增区间.


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.


（2）如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 相应的，区间则称为函数的单调减区间.


特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.





























自我检测1：函数，各有怎样的单调性？


答案：在上单调递减，在上单调递增；


在上单调递增，在上单调递减．


【知识点二】函数单调区间的理解


如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．


注意：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.








自我检测2：如何描述的单调性？


答案：函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．


【知识点三】利用定义证明函数单调性的步骤














注：作差变形是解题关键．





题型一 函数单调性的定义


【例1】定义在R上的函数对任意两个不相等的，，总有，则必有( )


A．函数先增后减


B．是R上的增函数


C．函数先减后增


D．函数是R上的减函数


【答案】B





题型二 利用函数图像判断函数单调性


【例2-1】已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为( )


A．(－3,1)∪(1,4)


B．(－5，－3)∪(－1,1)


C．(－3，－1)，(1,4)


D．(－5，－3)，(－1,1)


【答案】 C





【例2-2】函数，请描述函数的单调性 ．




















题型三 利用定义法判断函数单调性


【例3】根据定义证明函数在区间上单调递增．


【答案】∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1

y1－y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))


＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)．


由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1.


所以x1x2>1，x1x2－1>0.


又由x1

于是eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)<0，


即y1

所以，函数y＝x＋eq \f(1,x)在区间(1，＋∞)上单调递增.





1． 函数f(x)的图象如图所示，则( )


A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数


B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数


C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数


D．函数f(x)在[2,4]上是增函数


答案：A


2．下列说法中正确的有( )


①若x1，x2∈I，当x1

②函数在R上是增函数；


③函数在定义域上是增函数；


④的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


答案：A


3．函数在R上是减函数，则( )


A． B．


C． D．


答案：B


4．函数的单调减区间是( )


A． B．


C． D．


答案：D


5．用定义法证明函数在定义域内的单调性？


答案：函数的定义域为.


任取且，则，，


又.


所以这个函数是增函数.