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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第三课时学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第三课时学案,共13页。学案主要包含了知识点一,知识点二,知识点三,例1-1,例1-2,例3-1,例3-2等内容,欢迎下载使用。

    导学目标:


    1.掌握函数的单调性,会利用函数单调性的性质解决一些简单问题.


    (预习教材P76~ P81,回答下列问题)


    问题:如图所示为函数,的图象,请写出该函数的值域.














    图1


    【知识点一】函数的最值


    一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:


    (1) ,都有;


    (2) ,使得;


    那么,我们称是函数的最大值(maximum value).





    一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:


    (1) ,都有;


    (2)存在,使得;


    那么,我们称是函数的最小值(minimum value).


    自我检测1:上面图1函数有无最值?若有,请说明.











    【知识点二】函数单调性的应用


    (1)求函数的最值


    若在区间上递增,则在区间有最小值,最大值;


    若在区间上递减,则在区间有最小值,最大值;


    自我检测2:指出函数在上的最值情况?





    (2)比较大小与解不等式


    若在区间上递增(递减)且();


    若在区间上递递减且.().





    【知识点三】函数最值的求法


    (1)图像法 (2)单调性法





    自我检测3:函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )


    A.f(-2),0 B.0,2


    C.f(-2),2 D.f(2),2








    题型一 利用函数图像求函数的最值


    【例1-1】已知函数,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.

















    【例1-2】已知函数.


    (1)作出该函数的图像;(2)求在上的值域.














    题型二 利用函数的单调性求函数的最值


    【例2】 已知函数,求函数在上的最值.

















    题型三 利用函数的单调性求解不等式


    【例3-1】若的定义域为且在上是减函数,则下列不等式成立的是( )


    A.B.


    C.D.











    【例3-2】函数在上单调递减且,且,则的取值范围为_________.














    1.函数在上( )


    A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值


    C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值


    2.函数在上的最小值和最大值分别是( )


    A.B.


    C.D.,无最大值


    3.设函数是定义在上的函数,满足,且在上单调递增,则,的大小关系是( )


    A.B.


    C.D.无法比较


    4.已知函数,则下列说法正确的是( )


    A.有最大值,无最小值 B.有最大值,最小值


    C.有最大值,无最小值 D.有最大值,最小值





    5.若函数的定义域为,且为增函数,,求的取值范围 .




















    §3.2.1 单调性与最大(小)值(第三课时)


    参考答案


    导学目标:


    1.掌握函数的单调性,会利用函数单调性的性质解决一些简单问题.


    (预习教材P76~ P81,回答下列问题)


    问题:如图所示为函数,的图象,请写出该函数的值域.














    【答案】 图1


    【知识点一】函数的最值


    一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:


    (1) ,都有;


    (2) ,使得;


    那么,我们称是函数的最大值(maximum value).





    一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:


    (1) ,都有;


    (2)存在,使得;


    那么,我们称是函数的最小值(minimum value).


    自我检测1:上面图1函数有无最值?若有,请说明.


    【答案】;.








    【知识点二】函数单调性的应用


    (1)求函数的最值


    若在区间上递增,则在区间有最小值,最大值;


    若在区间上递减,则在区间有最小值,最大值;


    自我检测2:指出函数在上的最值情况?


    【答案】有最大值,无最小值 .


    (2)比较大小与解不等式


    若在区间上递增(递减)且();


    若在区间上递递减且.().





    【知识点三】函数最值的求法


    (1)图像法 (2)单调性法





    自我检测3:函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )


    A.f(-2),0 B.0,2


    C.f(-2),2 D.f(2),2


    【答案】C





    题型一 利用函数图像求函数的最值


    【例1-1】已知函数,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.














    【答案】,图象如图所示.


    由图象知,函数的最大值为2,没有最小值,


    所以其值域为(-∞,2].





    【例1-2】已知函数.


    (1)作出该函数的图像;


    (2)求在上的值域.


    【答案】(1)


    (2)由图像可知:


    时,为单调减函数,


    所以时,,


    时,,


    即的值域为.





    题型二 利用函数的单调性求函数的最值


    【例2】 已知函数,求函数在上的最值.


    【答案】先证明函数f(x)=eq \f(3,2x-1)的单调性,设x1,x2是区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))上的任意两个实数,且x2>x1>eq \f(1,2),


    f(x1)-f(x2)=eq \f(3,2x1-1)-eq \f(3,2x2-1)=eq \f(6x2-x1,2x1-12x2-1).


    由于x2>x1>eq \f(1,2),所以x2-x1>0,且(2x1-1)·(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=eq \f(3,2x-1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))上是单调递减的,所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的,因此,函数f(x)=eq \f(3,2x-1)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,


    即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=eq \f(1,3).





    题型三 利用函数的单调性求解不等式


    【例3-1】若的定义域为且在上是减函数,则下列不等式成立的是( )


    A.B.


    C.D.


    【答案】因为,


    函的定义域为且在上是减函数,


    可得.故选:B.


    【例3-2】函数在上单调递减且,且,则的取值范围为_________.


    【答案】由,可移项得,


    因为,


    不等式化为,


    在上是减函数,


    ,解得


    又由,且,解,取交集,得


    综上所述,可得的取值范围为.





    1.函数在上( )


    A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值


    C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值


    【答案】A


    2.函数在上的最小值和最大值分别是( )


    A.B.


    C.D.,无最大值


    【答案】A


    3.设函数是定义在上的函数,满足,且在上单调递增,则,的大小关系是( )


    A.B.


    C.D.无法比较


    【答案】B


    4.已知函数,则下列说法正确的是( )


    A.f(x)有最大值,无最小值 B.f(x)有最大值,最小值


    C.f(x)有最大值,无最小值 D.f(x)有最大值,最小值





    【答案】A





    5.若函数的定义域为,且为增函数,,求的取值范围 .【答案】

















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