高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第二课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第二课时学案及答案，共14页。学案主要包含了自我检测，例1-1，例3-2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．


（预习教材P76~ P81，回答下列问题）


函数单调性的定义：


一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增．相应的，区间则称为函数的单调增区间．


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ．


（2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减．相应的，区间则称为函数的单调减区间．


特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．


【自我检测】下列已知条件，能判断函数在上单调递增的有





设，且


设，且


设，且


【知识点】判断函数单调性的方法


利用函数单调性的定义；




















利用已知函数的图像；


形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数、含绝对值函数等


利用单调函数的四则运算；


在公共定义域内，增函数增函数是增函数；


减函数减函数是减函数；


增函数减函数是增函数；


减函数增函数是减函数。


若在区间上是增（减）函数，则在区间上是减（增）函数；





则()在连续区间上是减（增）函数。


复合函数的单调性判断法“同增异减”








题型一 利用函数单调性的定义判断函数单调性


【例1-1】利用定义判断函数在区间上的单调性．

















题型二 利用函数图像判断函数单调性


【例2】下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）


A． B．


C． D．

















题型三 利用单调函数的四则运算判断函数单调性


【例3-2】证明：若在区间上是增函数，则在区间上是减函数．


























【例3-2】判断下列函数的单调性


（1） （2）


（3） （4）








题型四 复合函数单调性判断方法（内外侧函数同增异减）


【例4】求下列函数的单调区间


（1）函数的单调递增区间


（2）函数的单调递增区间

















1．函数的单调递增区间是（ ）


A．B．


C．D．


2．已知函数，则（ ）


A．在上是增函数B．在上是增函数


C．在上是减函数D．在上是减函数


3．函数的单调递增区间为（ ）


A．B．


C．D．


4．设函数．


（1）判断函数在区间上的单调性；


（2）求函数在区间得最大值和最小值．











5．用定义法证明函数在定义域内的单调性；











§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）参考答案


导学目标：


1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．


（预习教材P76~ P81，回答下列问题）


函数单调性的定义：


一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增．相应的，区间则称为函数的单调增区间．


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ．


（2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减．相应的，区间则称为函数的单调减区间．


特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．


【自我检测】下列已知条件，能判断函数在上单调递增的有 （1）





设，且


设，且


设，且





一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增．相应的，区间则称为函数的单调增区间．


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．


（2）如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减． 相应的，区间则称为函数的单调减区间．


特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．


【知识点】判断函数单调性的方法


利用函数单调性的定义；




















利用已知函数的图像；


形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数、含绝对值函数等


利用单调函数的四则运算；


在公共定义域内，增函数增函数是增函数；


减函数减函数是减函数；


增函数减函数是增函数；


减函数增函数是减函数。


若在区间上是增（减）函数，则在区间上是减（增）函数；





则()在连续区间上是减（增）函数。


复合函数的单调性判断法“同增异减”








题型一 利用函数单调性的定义判断函数单调性


【例1-1】利用定义判断函数在区间上的单调性．


【答案】函数在上递增，证明如下：


任取且，则，由于，，故，即．所以函数在上递增．





题型二 利用函数图像判断函数单调性


【例2】下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）


A． B．


C． D．


【答案】C





题型三 利用单调函数的四则运算判断函数单调性


【例3-2】证明：若在区间上是增函数，则在区间上是减函数．





【答案】任取，由已知可得：


令，





所以上是单调减函数．














【例3-2】判断下列函数的单调性


（1） （2）


（3） （4）


【答案】（1）在和上单调递增（2）在上单调递增


（3）在和单调递减 （4）在单调递增，在单调递减





题型四 复合函数单调性判断方法（内外侧函数同增异减）


【例4】求下列函数的单调区间


（1）函数的单调递增区间


（2）函数的单调递增区间


【答案】（1）令，则，由，得，


又因为在上单调递增，在定义域上是增函数，


所以的单调递增区间是．


（2）由解得，也即函数的定义域为，注意到函数开口向下，对称轴为，所以函数在上递增，在上递减．而在上是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为．











1．函数的单调递增区间是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


2．已知函数，则（ ）


A．在上是增函数B．在上是增函数


C．在上是减函数D．在上是减函数


【答案】D


3．函数的单调递增区间为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】C


4．设函数．


（1）判断函数在区间上的单调性；


（2）求函数在区间得最大值和最小值．


【答案】任取，因为











在上是单调减函数


（2）由（1）得函数在上是单调减函数，所以函数在上为单调减函数，所以．








5．用定义法证明函数在定义域内的单调性；


【答案】任取，


因为


因为，所以，


又因为， ，，


所以


所以在上是单调减函数．


增 ↗
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