高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质第1课时课堂检测

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【夯实基础】
一、单选题
1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.
【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.
故选：B.
2．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.
【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.
故选：B
3．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.
【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.
故选：D
4．已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的单调性，从而得到.
【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
5．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.
【详解】由题知，当或，即或时，满足题意.
故选：A
6．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.
【详解】在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
7．下列四个函数在是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可
【详解】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．
故选：D
8．已知函数，对于任意的恒成立，则实数
的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用换元法将函数的最值转化为二次函数的最值，即可求得实数的最小值.
【详解】对于任意的使恒成立，
令（），则，即，
设，则，故，
即实数m的最小值是.
故选：.
二、多选题
9．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.
【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．故选:AD．
10．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据单调性的定义即可由图知道f(x)的增区间﹒
【详解】图像从左往右上升的区间有：(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)，∴f(x)在(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)上单调递增﹒故选：BC﹒
三、填空题
11．写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.
【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）
故答案为：（答案不唯一）
12．设函数，其中，.若在上不单调，则实数的一个可能的值为______.
【答案】内的任意一个数.
【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间，假设在上单调，即可求出的取值范围，其补集即为在上不单调时实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，由对勾函数的性质可得函数在和上是单调递增，在和上是单调递减，若在上单调，则或，
解得或，则在上不单调，实数的范围是,
故答案为：内的任意一个数.
13．函数的单调减区间为__________.
【答案】##
【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.
【详解】函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
四、解答题
14．已知，函数．
(1)指出在上的单调性（不需说明理由）；
(2)若在上的值域是，求的值．
【答案】(1)在上是增函数(2)2
【分析】（1）由于，利用反比例函数的性质，即可得到结果；
（2）根据（1）的函数单调性，可知，，解方程即可求出结果.
(1)解：因为，所以在上是增函数．
(2)解：易知，由（1）可知在上为增函数．
，解得，由得，解得．
15．设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？
【分析】根据反例可判断两个结论的正误.
【详解】取 ，则在上是减函数，在上也是减函数，
但，，
因此不能断定在上是减函数.
若取，则在上是增函数，在上也是增函数，
但，，
因此不能断定在上是增函数.
16．已知函数的定义域为．
(1)求的定义域；
(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）的定义域可以求出，即的定义域；
（2）令，若，使得成立，即可转化为成立，求出即可.
（1）∵的定义域为，∴．∴，则．
（2）令，，使得成立，即大于在上的最小值．
∵，∴在上的最小值为，
∴实数的取值范围是．
【能力提升】
一、单选题
1．已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可.
【详解】因为，所以，因此，即，
所以在上单调递减，又因为，所以，
又因为，所以，所以．故选：B．
2．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.
【详解】函数的定义域为，选项C，D不满足，
因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.
故选：A
【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.
3．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数关系式可知，由此可确定在上的解析式，并确定每段区间上的最小值；由时，可确定在此区间内的两根，结合函数图象可确定的范围.
【详解】由知：，；
当时，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
令，解得：或；作出函数的大致图象如图所示．
对任意恒成立，，则，即实数的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
4．下列命题正确的是（ ）
A．的定义城为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数的单调增区间为
【答案】AB
【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判断A;利用换元法求得函数值域，可判断B;利用基本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号，可判断D.
【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，对于函数，，
解得，所以函数的定义域为，A选项正确；
对于B选项，令，则，，且时，取得等号，所以函数的值域为，B选项正确；
对于C选项，，当且仅当时，即等号取得，但等号取不到，所以C选项错误；
对于D选项，，所以函数的单调增区间为和，单调区间之间不能用并集符号，D选项错误，
故选：AB．
5．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数在上是减函数
C．函数的单调区间是
D．已知在上是增函数，若，则有
【答案】AD
【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递增，故A正确；
对于B选项，因为当时，，当时，，
所以函数在上不是减函数，故B错误；
对于C选项，解不等式得，函数的定义域为，故C错误；
对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故D正确.
故选：AD
6．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，所以，
所以等价于，又在上是减函数，且，所以 ，解得，故D正确,故选:ABD．
7．（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BCD
【分析】利用常数分离法知，根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围，进而得到函数的值.
【详解】，
当时，，，，此时的取值为1；
当时，，，，此时的取值为2，3．
综上，函数的值可能为．
故选：BCD．
三、填空题
8．点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，可求出，根据根据，，即可求出t的取值范围.
【详解】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，
则有时，y随x的增大而增大；当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有，解得，
∵，，又∵时，y随x的增大而增大；
∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，
当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有，继续正方向移动，则有，∴满足的t的取值范围：，故答案为：.
四、解答题
9．已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】利用单调性的定义证明，先任取，，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论.
【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，
．
因为，所以，，，
所以所以，所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
10．已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.
【详解】证明：任取、，且，
则．
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数．
11．画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；(2)．
【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间
(2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和
【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；
（2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.
（1）画出的图象如图所示，
可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2） ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
12．已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；
（2）将代入，然后求解不等式即可
（1）任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）当时，，由可得，解得，
故不等式的解集为
13．设函数．
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间.
（2）去掉绝对值符号可得，根据函数在R上单调递增可得关于的不等式组，从而可得其取值范围.
（3）等价于 且恒成立，前者可分类讨论，后者可结合一次函数的图象和性质，两者结合可得a的取值范围.
【详解】（1）时，，故在上为增函数，在上为减函数，在为增函数，故函数的单调递减区间为.
（2），
因为函数在R上单调递增，故 ，解得.
（3）等价于 且恒成立，
先考虑恒成立，则，故.再考虑恒成立，
又，故，故，解得，
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于含绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，从而把问题题转化为常见的一次函数、二次函数在给定范围上的恒成立问题，注意先讨论简单的一次函数的性质，从而参数的初步范围后再讨论二次函数的性质.
14．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．
（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证；
（2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”；
（3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值．
【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有，
∴，无解，∴不存在“黄金区间”；
（2）记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数值域为，可知
而其对称轴为，∴在上必为增函数，
令，∴，∴
故该函数有唯一一个“黄金区间”；
（3）由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，∴或，
而由韦达定理知，，
所以，其中或，所以当时，取得最大值．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.
15．已知函数，，． 若不等式的解集为
(1)求的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．
(3)已知且，若.试证：.
【答案】(1)；
(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值
（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减
（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大
(1)，即，因为不等式解集为，所以，解得： ，所以
(2)函数在区间上的单调递增，证明如下：假设，则
，
因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增
(3)由（2）可得：函数在区间上的单调递增， 在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，
证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即
，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：
【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：
（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程
（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数
16．已知函数，
(1)对任意的，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(2)对任意的，若不等式任意（）恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得，结合对勾函数的单调性与最值情况求参数范围；
（2）由题意不等式可转化为函数在上单调递增，结合分段函数的单调性，分情况讨论.
(1)由，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，所以，
又函数在区间上的最大值为，
所以，即，解得，
所以；
(2)不等式任意（）恒成立，
即，设，在上单调递增，
即在上单调递增，
当时，，
①当时，单调递增，成立；
②当时，单调递增，成立，
③当时，只需，即，
，，当时，，
①当时，在上递减，所以不成立；
②当时，在上递减，所以不成立；
③当时，只需，即，，
综上所述，.
17．已知函数 对一切实数 都有 成立，且
(1)求 的解析式；
(2)，若存在 ，使得 ，有 成立，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）赋值法，令y＝1，求出，进而求出；
（2）根据题干中的条件，只需，先求出函数的最大值，然后利用二次函数的性质求最值，进而求出a的取值范围.
(1)∵函数 对一切实数 都有 成立，且 ，
令y＝1，则，．.
(2)由题意，有，
则，
对于g(x)，当x＝0时，g(0)＝0，
当时，，设，
则在（0，1）单调递减，在单调递增，在x＝1处取到最小值，
所以，所以，
综上，，当且仅当x＝1时取到，
所以；
设，则h(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论：
当时，对称轴距离区间右侧x＝2更远，故，
∴，即；
2）当时，对称轴距离区间左侧x＝－1更远，故，
∴，即；
综上，．