高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案，共11页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，例1-4，例2-1，例2-2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


掌握函数的单调性与奇偶性的定义，体会数形结合思想的应用（预习教材P70~ P80，回答下列问题）


回忆：函数的单调性


一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增.相应的，区间则称为函数的单调增区间.


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.


（2）如果，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减. 相应的，区间则称为函数的单调减区间.


回忆：函数的奇偶性


对于函数，，如果对于任意，


都有 ，则称函数为奇函数；图像关于 对称.


都有 ，则称函数为偶函数；图像关于 对称.





题型一 函数单调性、奇偶性的应用（附图思想）


【例1-1】函数满足，当时都有，则不等式的解集为 ．


A． B． C． D．





【例1-2】设是R上的偶函数，在（–∞，0）上为减函数，若，


A．B．


C．D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小关系








【例1-3】已知函数为奇函数，为偶函数，则下列结论错误的是（ ）


A．为周期函数B．的图象关于点中心对称


C．的图象关于直线轴对称D．为奇函数








【例1-4】设的定义域为R，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（ ）


A．B．


C．D．








题型二 抽象函数单调性、奇偶性的证明及应用


【例2-1】（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）


A．B．是奇函数


C．在上有最大值D．的解集为





【例2-2】已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.


（1）求;


（2）试判断在上的单调性,并证明;


（3）解不等式:.








1．是偶函数，则，，的大小关系为（ ）


A．B．


C．D．


2．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）


A．B．


C．D．


3．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）


A．B．


C．D．


4．设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .


(1)求的值;


(2)求证:对任意,恒有.


(3)求证:在R上是减函数.





§3.2.3 函数的单调性与奇偶性习题答案


导学目标：


掌握函数的单调性与奇偶性的定义，体会数形结合思想的应用（预习教材P2~ P5，回答下列问题）


回忆：函数的单调性


一般地，设函数的定义域为，区间：


（1）如果，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增.相应的，区间则称为函数的单调增区间.


特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.


（2）如果，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减. 相应的，区间则称为函数的单调减区间.


回忆：函数的奇偶性


对于函数，，如果对于任意，


都有 ，则称函数为奇函数；图像关于 对称.


都有 ，则称函数为偶函数；图像关于 对称.





题型一 函数单调性、奇偶性的应用（附图思想）


【例1-1】函数满足，当时都有，则不等式的解集为 ．


A． B．


C． D．


【答案】C


【例1-2】设是R上的偶函数，在（–∞，0）上为减函数，若，


A．B．


C．D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小关系


【答案】C


【例1-3】已知函数为奇函数，为偶函数，则下列结论错误的是（ ）


A．为周期函数B．的图象关于点中心对称


C．的图象关于直线轴对称D．为奇函数


【答案】B


【例1-4】设的定义域为R，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】B








题型二 抽象函数单调性、奇偶性的证明及应用


【例2-1】（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）


A．B．是奇函数


C．在上有最大值D．的解集为


【答案】ABD


【例2-2】已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.


（1）求;


（2）试判断在上的单调性,并证明;


（3）解不等式:.


【答案】（1）由题意，令，得，解得


令，得，所以.


（2）函数在上单调递减，证明如下：


任取，且，


可得


，


因为，所以，所以


即，所以在上单调递减.


（3）令，得，∴


∴


∴，又在上的单调且


∴，∴.


∴，即不等式解集为.





1．是偶函数，则，，的大小关系为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】B


2．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


3．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


4．设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .


(1)求的值;


(2)求证:对任意,恒有.


(3)求证:在R上是减函数.


【答案】(1) 令,有,当时,,所以有,于是有；


(2)当时,有,因为,所以,已知当时,,所以,由(1)可知,所以有；


已知当时,；


由(1)可知,故对任意,恒有；


(3)设且,所以有,而已知当时,,因此有


,而,由(2)的证明过程可知：,


于是由可得,所以有,根据(2)的性质可知：,所以有,因此在R上是减函数.