人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质习题

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考点一 定义法判断单调性
【例1】证明函数g（x）＝在（1，＋∞）上单调递增．
【解析】任取、，且，
则，
由于，∴，，
∴，即，故在上是增函数．
【一隅三反】
1．已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．
【答案】在区间上单调递增，证明见解析；
【解析】在区间上单调递增，
证明：设任意的、且，则
，
因为、且，所以、、，，所以，即，所以在区间上单调递增；
2．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析
【解析】(1)要使函数有意义，当且仅当.由得，
所以，函数的定义域为.
(2)函数在上单调递减.
证明：任取，，设，则
.
∵，∴，，
又，所以，故，即，
因此，函数在上单调递减.
3．已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），.
【解析】（1）在区间上单调递增
证明：任取，且
因为，，，所以，即
所以在区间上单调递增
（2）由（1）可得，在区间上单调递增
所以，
考点二 性质法判断函数的单调性
【例2】下列四个函数在是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．故选：D
【一隅三反】
1．函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数图象的图象，
由图象可知图象的减区间为故选：A
2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2B．y＝
C．y＝1＋2xD．y＝－(x＋2)2
【答案】C
【解析】A中，因为y＝x2－2在（－∞，0）上为减函数，所以A不对；
B中，因为y＝在（－∞，0）上为减函数，所以B不对；
C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上为增函数，故C正确；
D中，∵y＝－(x＋2)2的对称轴是x=－2，∴在（-∞，－2）上为增函数，在（－2，+∞）上为减函数，故D不对．故选：C
3．函数的单调减区间为______.
【答案】、
【解析】由知，即的定义域为，作出的图像如图所示：
由图可知： 的单调递减区间为和.故答案为：、.
考点三 分离常数判断函数的单调性
【例3】函数的单调增区间是________.
【答案】，
【解析】；的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移一个单位得到；而的单调增区间为，；的单调增区间是，．故答案为：，
【一隅三反】
1.函数（ ）
A．在内单调递增B．在内单调递减
C．在内单调递增D．在内单调递减
【答案】C
【解析】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增，故选：C.
2．函数f(x)=在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
【答案】C
【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.
3．函数
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在定义域内单调递减
【答案】B
【解析】因为数，所以，因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.
考点四 图像法判断函数的单调性
【例4】作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）；（3）（4）；（5）．
【答案】（1）减区间：和，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：；
增区间：和，减区间：，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析
【解析】（1），图象如图所示：
函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；
（2），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
（3），图象如图所示：
函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.
（4），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；
（5）
，
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.
【一隅三反】
1．函数的图象如图所示，其增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】结合图象分析可知，函数的图象在区间是上升的，所以对应其增区间是．故选：C．
2．函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ）
A．[2，4]B．[2，3]C．[2，＋∞）D．[3，＋∞）
【答案】B
【解析】函数，画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是，，故选：B
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【解析】，作出其图象如图所示：
由图象可知，函数的增区间为和.故选:B
考点五 已知函数单调性求参数
【例5-1】已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.故选：D
【例5-2】（多选）函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】根据题意，当，都有成立时，函数 在定义域内为单调减函数.
所以解得 ，反之也成立，即是时，都有成立的充要条件，所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间，故选项CD正确.故选：CD.
【一隅三反】
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：
2．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】时，满足题意；时，，解得，综上，
故答案为：．
3．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】不妨设，所以由可得：，
所以函数在上递减，故，解得：．故答案为：
考点六 利用单调性比较大小
【例6】定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．
【一隅三反】
1．已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为在区间上是增函数，并且，所以，所以D选项的正确的．故选：D
2．已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增且关于直线对称，所以，所以，即．故选：A．
3．定义在上的函数，对任意有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，对任意有，故任取，有即在上单调递减由于故选：A
考点七 利用单调性解不等式
【例7-1】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.故选：C.
【例7-2】函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数为上单调递减，则可变形为，
则，解得，所以的取值范围为，,故选：C
【一隅三反】
1.已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，且，
所以，即，解得，所以x的取值范围为，故选：B
2．已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是定义在上的减函数，且，则，解得.
故选：A.
3．函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，是图象上的两点，所以，所以，转化为，因为函数是R上的增函数，所以，所以不等的解集为，故选：B
考点八 单调性的综合运用
【例8-1】已知函数.
(1)画出的图象：（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹，否则不给分）
(2)请根据图象指出函数的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）
(3)当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程的实根的个数：（不必求出方程的解）
【答案】(1)图象见解析
(2)函数的单调递增区间是，；单调递减区间是，．
(3)答案见解析
【解析】(1)因为，所以函数的图象如图所示：
(2)由图象可知，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是，．
(3)因为方程的实根的个数即是函数的图象与直线的交点个数，
所以由图可知，当或时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程有个根；
当时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程有个根；
当时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程有个根；
当时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程没有根．
【例8-2】定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.
【解析】（1）令，由条件得.
（2），即.
（3）任取，，且，则.
由（2）得.，即.∴在上是增函数.
（4）∵，∴，
.
又在上为增函数，∴解得.
故不等式的解集为.
（5）∵，，
∵，∴（当且仅当时取等号）.
又在上是增函数，∴.∴.
【一隅三反】
1．已知函数是增函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)解不等式
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为在上是增函数，所以在都单调递增．
当即时，在单调递增；当时，在单调递增；
在处，，解得．综上所述，的取值范围为．
(2)因为在上是增函数，所以等价于，
化简为，解得或．所以不等式的解集为．
2．已知函数.
（1）请在平面直角坐标系中，画出函数的草图；
（2）写出函数的单调区间；
（3）若，请根据函数的草图，写出实数的值.
【答案】（1）见解析；（2）函数的增区间为，减区间为；（3）1或3或
【解析】（1）由题意，，可得函数的草图为：
（2）由图可知，函数的增区间为，减区间为.
（3）根据图象可知，满足的有3个，
若，则，解得或；
若，则，解得或（舍去）.
综上，实数t的值为1或3或.
3．设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有；②当时，；③.
（1）求，的值；
（2）证明在上是减函数；
（3）如果不等式成立，求x的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】（1）因为对任意正数x，y，都有，，
令，得，，
令，则，
令，，则有，．
（2）令，且，所以，，，
∴在上是减函数；
（3）由已知不等式化为，
又在上是减函数，∴，解得.
不等式解集为.
3.2.1 函数的单调性（精练）
1 定义法判断函数的单调性
1．已知函数．
(1)证明：函数在上是增函数；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)设，，
因为，所以，，则，即，
所以函数在上是增函数；
(2)由（1）可知，在单调递增，所以，
所以在的值域为.
2．已知，，．
(1)求实数a、b的值，并确定的解析式；
(2)试用定义证明在内单调递减．
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【解析】(1)由，，得解得，，∴．
(2)设，则．
∵，，∴，即，∴在上单调递减．
3．已知函数其中为常数且满足
（1）求函数的解析式；
（2）证明：函数在区间(0，1)上是减函数.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：，解得，
的解析式为
（2）证明：任取，
则
即
故函数在区间(0，1)上是减函数.
2 性质法判断函数的单调性
1．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，函数在和上单调递减，
故函数的单调递减区间为和；故选：A
2．函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．和D．
【答案】C
【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和所以的单调增区间为和故选：C
3．函数的单调递减区间为________
【答案】（或）
【解析】对于函数，有，解得或.所以，函数的定义域为.内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
外层函数在上为增函数，因此，函数的单调递减区间为（或）.故答案为：（或）.
4．函数的单调递增区间是____________；
【答案】
【解析】函数的对称轴为，开口向上，所以函数的单调增区间为.
故答案为：
5．函数，的单调递增区间是_____．
【答案】
【解析】的图象开口向下，又的对称轴为，
的单调递增区间是.故答案为：.
3 图像法判断函数的单调性
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是
【答案】
【解析】y＝|x|(1－x)＝＝，作出函数的草图如图所示．
由图易知原函数在上单调递增。
2．已知函数的单调增区间为_______．
【答案】和.
【解析】:时，，对称轴，开口向上，在递增，
时，，对称轴，开口向下，在递增，
函数的递增区间是和.故答案为：和.
3．函数的递增区间是______.
【答案】[1，+∞）
【解析】函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．
4．已知函数.
（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）图象见解析；（2）单调增区间为；单调减区间是为；（3）.
【解析】（1）作图如下：
（2）看图可知函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；
（3）如图，若函数的图象与直线有4个交点，则需.
所以实数的取值范围为.
5．若函数.
(1)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象；
(2)写出函数的值域､单调区间；
【答案】(1)作图见解析(2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为；
【解析】(1)由，图象如图所示：
(2)由函数图象可得函数的值域为. 在上为减函数，在上为增函数，即单调递减区间为，单调递增区间为；
6．已知函数.完成下面两个问题：
(1)画出函数的图象，并写出其单调增区间：
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)图象见解析，单调增区间为和.(2).
【解析】(1)，图象如下：
单调增区间为和.
由（1）中的图象可知，函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，，故在区间上的最大值为.
7．已知函数.
(1)求的值；
(2)画出函数的图象；
(3)指出函数的单调区间.（直接写结果）
【答案】(1)(2)作图见解析(3)递减区间：，，递增区间：
【解析】(1)，，即.
(2)函数的图象如图：
(3)由图象知递减区间为：，，递增区间：.
8．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）； （2），；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
【答案】（1）图象见详解，单调递减区间为，递减区间为 最大值为；
（2）图象见详解，单调递减区间为，最小值为，最大值为；
（3）图象见详解，单调递增区间为，无最大值和最小值；
（4）图象见详解，单调递减区间为，最大值为；
（5）图象见详解，单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；
（6）图象见详解，单调递增区间为，无最大值和最小值.
【解析】（1）图象如题所示：，
单调递减区间为，递减区间为 最大值为，无最小值；
（2）图象如图所示：，
单调递减区间为，最小值为，最大值为；
（3）图象如图所示：，
单调递增区间为，无最大值和最小值；
（4）图象如图所示：，
单调递减区间为，最大值为；
（5）图象如图所示：，
单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；
（6）图象如图所示：，
单调递增区间为，无最大值和最小值.
4 已知单调性求参数
1．已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D
2．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题知，当或，即或时，满足题意.故选：A
3．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： 故选：B
4．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，则，故k≤﹣2，故选：C．
5．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0)B．[-4，-2]C．D．
【答案】B
【解析】因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B
6．已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若是上的增函数，则应满足，解得，即.故选：C
7．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，对称轴为，开口向上，要使函数在区间上是减函数，所以，解得故选：A
8．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以由
，
构造函数，由，
因为，所以函数是上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为：，
当时，显然函数是上的增函数，符合题意；
当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围是，故选：C
5 利用单调性比较大小
1．设函数，对任意实数都有成立，则函数值，，，中，最小的一个不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵对任意实数都有成立，∴函数的对称轴是，
当时，自变量取值离对称轴距离越近函数值越小，函数值，，，中，最小的一个是.当时，自变量取值离对称轴距离越远函数值越小，函数值，，，中，最小的一个是和.故选：B.
2．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵在上是增函数，且，所以.故选：D.
3．定义在Ｒ上的函数f(x)，对任意，有，则（ ）
A．f(3)