人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第二课时学案设计

第三章 函数的概念与性质

3.2.1单调性与最大（小）值

第2课时 函数的最大（小）值

【课程标准】

1、理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.

2、会借助单调性求最值.

3.掌握求二次函数在给定区间上的最值．

【知识要点归纳】

1、函数的最大值与最小值定义

2、函数的最大(小)值的几何意义

一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．

【经典例题】

(一)图象法求函数的最值

图象法求最值的一般步骤

例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

[跟踪训练] 已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．

（二）利用单调性求函数的最大（小）值

1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性．  (2)利用单调性求出最大(小)值．

2．函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．

例2　已知f(x)＝，

(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．

(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．

（三）求二次函数的最值

求二次函数在闭区间[m，n]上的最值：

①确定二次函数的对称轴x＝a；

②根据a<m，m≤a<，≤a<n，a≥n这4种情况进行分类讨论；

③写出最值．

例8（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。

例9 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；

例10 （动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；

[跟踪训练] （1）已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．

（2）已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值。

（四）函数最值的应用

例11　已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

例12 已知x2－x＋a>0对任意x∈恒成立，求实数a的取值范围．

[跟踪训练] 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．

【当堂检测】

一．选择题（共3小题）

1．函数，则的最大值和最小值分别为　　

A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．10，7

2．已知函数，则的最小值为　　

A．4 B．5 C．6 D．

3．对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为　　

A． B． C． D．

二．多选题（共1小题）

4．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数，的说法正确的是　　

A．函数是偶函数 

B．方程有两个解 

C．函数有4个单调区间 

D．函数有最大值为0，无最小值

三．填空题（共2小题）

5．若关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为　　．

6．已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是　　．

四．解答题（共1小题）

7．已知二次函数满足（3），且的最大值为．

（1）求函数的解析式；

（2）设，求在区间，上的最大值．

当堂检测答案

一．选择题（共3小题）

1．函数，则的最大值和最小值分别为　　

A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．10，7

【分析】分段求出的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．

【解答】解：由题意，，，，函数为增函数，

的最大值，最小值分别为10，7；

，，，函数为增函数，

的最大值，最小值分别为8，6；

的最大值，最小值分别为10，6，

故选：．

【点评】本题重点考查分段函数的最值，解题的关键是分段求函数的最值，再确定分段函数的最大值与最小值．

2．已知函数，则的最小值为　　

A．4 B．5 C．6 D．

【分析】把已知函数解析式变形，然后利用基本不等式求最值．

【解答】解：，，

，

当且仅当，即时上式等号成立．

的最小值为5．

故选：．

【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是基础题．

3．对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为　　

A． B． C． D．

【分析】利用导数判断函数求出其最小值，然后根据定义求解．

【解答】解：，

当时，，当时，，

在上为减函数，在上为增函数，所以，

根据定义可知，函数的下确界为，

故选：．

【点评】本题考查函数的最值，导数的应用，属于基础题目．

二．多选题（共1小题）

4．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数，的说法正确的是　　

A．函数是偶函数 

B．方程有两个解 

C．函数有4个单调区间 

D．函数有最大值为0，无最小值

【分析】根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项．

【解答】解：由题意可得，，作出函数图象可得，

所以该函数为偶函数，有两个零点，，四个单调区间，当时，函数取得最大值为0，无最小值．

故选：．

【点评】本题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，并通过函数图象求得答案，考查数形结合思想，属于中档题．

三．填空题（共2小题）

5．若关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为　　．

【分析】将不等式运用参变分离化简为，再构造新函数求最大值，最后求实数的取值范围．

【解答】解：不等式在区间，上有解，

不等式在区间，上有解，

不等式在区间，上有解，

令，，则，

当时，，单调递减，

不等式在区间，上有解，即，

，

故答案为：．

【点评】本题考查不等式存在性问题，训练了利用导函数研究原函数单调性与最值，是中档题．

6．已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是　，　．

【分析】利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．

【解答】解：由题意可知要保证的最小值为（1），需满足，

即，

解得．

故答案为：，

【点评】本题考查函数的最值的应用，二次函数的性质以及基本不等式的应用，是中档题．

四．解答题（共1小题）

7．已知二次函数满足（3），且的最大值为．

（1）求函数的解析式；

（2）设，求在区间，上的最大值．

【分析】（1）设二次函数，由已知列关于，，的方程组，求解，，的值，则函数解析式可求；

（2）把的解析式代入，整理后求出二次函数的对称轴，然后分类求解在区间，上的最大值．

【解答】解：（1）设二次函数，

由（3），且的最大值为，

得，解得．

；

（2），

其对称轴方程为，

当，即时，；

当，即时，；

当，即时，．

在区间，上的最大值为．

【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，是中档题．