高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第一课时导学案

第三章 函数的概念与性质

3.2.2奇偶性

第1课时奇偶性的概念

【课程标准】

1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.

【知识要点归纳】

1、函数的奇偶性

注意：

（1）奇偶性：函数是奇函数或偶函数，我们就认为该函数具有奇偶性

（2）奇偶性是整体性质

（3）定义域关于原点对称

（4）图形特点

（5）与单调性的关系：

一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

（6）定义在R上的奇函数，必有f(0)＝     .

2.判断奇偶性的方法

（1）定义法：

（2）图象法：根据函数图象对称特点判断函数的奇偶性

【经典例题】

例1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x；　　  (2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝；    (4)f(x)＝

[跟踪训练]1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2(x2＋2);  (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

(3)f(x)＝；  (4)f(x)＝

图象应用：根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．

例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.

(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；

(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　

A． B． C． D．

2．下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

3．以下函数中为奇函数的是　　

A． B． C． D．，

4．若函数为偶函数，则　　

A．1 B． C．2 D．

二．填空题（共2小题）

5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　．

6．若函数为偶函数，则实数　　，函数的单调递增区间是　　．

三．解答题（共1小题）

7．已知奇函数，且（1）．

（1）求的解析式；

（2）用单调性的定义证明：在上单调递减．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　

A． B． C． D．

【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，．

【解答】解：依题意得：，，又，，

．

故选：．

【点评】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，

定义域区间2个端点互为相反数．

2．下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据函数的基本性质依次进行判断即可．

【解答】解：对于是由一次函数图象将的下部分翻折得到，在上是增函数且偶函数，故对．

对于是一次函数，，在上是减函数，且是非奇非偶函数，故不对．

对于是反比例函数，图象在一三象限，在上是减函数且奇函数，故不对．

对于是二次函数，开口向下，对称轴是轴，在上是减函数且偶函数，故不对：

故选：．

【点评】本题考查了函数的基本性质之单调性和奇偶性的判断．属于基础题．

3．以下函数中为奇函数的是　　

A． B． C． D．，

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是正比例函数，是奇函数，符合题意；

对于，，是一次函数，不经过原点，不是奇函数，不符合题意，

对于，，是二次函数，不是奇函数，不符合题意，

对于，，，其定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，不符合题意，

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．

4．若函数为偶函数，则　　

A．1 B． C．2 D．

【分析】根据题意，由二次函数的性质分析的对称轴，由偶函数的定义可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，为二次函数，其对称轴为，

若函数为偶函数，必有，解可得，

故选：．

【点评】本题考查偶函数的定义，涉及二次函数的性质，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　．

【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．

【解答】解：根据题意，当时，，则，

又由是定义在上的奇函数，则，

故答案为：．

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

6．若函数为偶函数，则实数　0　，函数的单调递增区间是　　．

【分析】根据函数是偶函数，恒成立求出的值，根据绝对值的意义，去绝对值，对函数单调性进行讨论即可．

【解答】解：若函数为偶函数，

则，

即，

解得；

，

当时，，

在，上单调递增；

当时，，

在，上单调递增；

的单调增区间为：，，，．

故答案为：0，，，，．

【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性及分类讨论的思想，属于基础题．

三．解答题（共1小题）

7．已知奇函数，且（1）．

（1）求的解析式；

（2）用单调性的定义证明：在上单调递减．

【分析】（1）由（1），（1），代入函数，可求得求的解析式；

（2）根据题意，任取，，设，由作差法分析可得结论．

【解答】解：（1）根据题意，由（1）得①，

为奇函数，（1），得②，

由①②可得，，

故的解析式为：；

（2）任取，

，，，，

，

在上单调递减．

【点评】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．