第二章+第十三课时+2.5.2+圆与圆的位置关系+课后-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

2.5.1  第2课时直线与圆的方程的应用

学习目标：

1．理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用．

2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．

方法要点：

1  解决直线与圆的实际应用题的步骤

（1）审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．

（2）建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．

（3）求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．

（4）还原：将运算结果还原到实际问题中去．

2  （1）坐标法建立直角坐标系应坚持的原则

①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．

②充分利用图形的对称性．

③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．

④关键点的坐标易于求得．

（2）通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果．所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养．

典型例题：

题组一、直线与圆的方程的应用

例1  一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西处，受影响的范围是半径为的圆形区域，已知港口位于台风中心正北处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

变式  （1）设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用表示，村外一小路方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．

（2）如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面，水面宽，当水面下降后，水面宽为________米．

题组二、坐标法的应用

例2  用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．

已知：四边形，．

求证：．

变式  如图所示，是的直径，是的一条弦，且，E为垂足．利用坐标法证明E是的中点．

当堂检测：

1．已知直线l：与圆C：，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ）

A．      B．      C．1      D．3

2．已知圆C：上存在两点关于直线对称，则实数m的值是（    ）

A．8      B．      C．6      D．无法确定

3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（    ）

A．2.4米      B．3.5米      C．3.6米      D．2.0米

4．圆过点，则周长最小的圆的方程为__________________．

5．已知圆O：和点，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．

参考答案

典型例题：

例1．【答案】轮船不会受到台风的影响

【解析】

【分析】

【详解】解  以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系（如图所示），

其中取为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，

港口所对应的点的坐标为，轮船的初始位置所对应的点的坐标为，

则轮船航线所在直线l的方程为，即，

圆心到l：的距离，

因为，所以直线与圆相离．

故轮船不会受到台风的影响．

变式【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）从村庄外围到小路的最短距离为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即．

（2）如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．

设圆心为C，圆的方程设为，水面所在弦的端点为A，B，则．将代入圆的方程，得，

则圆的方程为．当水面下降1米后，可设点，

将代入圆的方程，得，

所以当水面下降1米后，水面宽为（米）．

例2．【答案】，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】证明  如图，以所在的直线为x轴，过点B垂直于的直线为y轴建立直角坐标系，

设顶点坐标分别为，

∵，

∴，

∴，∵即，

∴，∴D在y轴上，∴．

变式【答案】E是的中点，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】证明  如图所示，以O为坐标原点，以直径所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设的半径为r，，则的方程为

，设．

则有，

即是关于b的方程的根，

解方程得，

不妨设，

则的中点坐标为，

即．故E是的中点．

当堂检测

1．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心到直线l的距离减去圆的半径，即．

2．【答案】C

【解析】因为圆上两点A，B关于直线对称，

所以直线过圆心，

从而，即．

3．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

易知半圆所在的圆的方程为，

由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，

此时或，代入，

得（负值舍去）．

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．

即中点为圆心，

半径．

则圆的方程为，即．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】∵点在圆上，∴过点A与圆O相切的切线方程为，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为．