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人教A版高中数学选择性必修第一册第2章章末综合提升学案
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这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第2章章末综合提升学案,共6页。
类型1 两条直线的平行与垂直1.解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定:若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题,要注意排除两条直线重合的可能性.2.一般式方程下两直线的平行与垂直已知两直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.3.通过讨论两条直线的平行与垂直,提升逻辑推理的学科素养.【例1】 已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.[解] (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)·1=0.即a2-a-b=0.①又点(-3,-1)在l1上,∴-3a+b+4=0.②由①②解得a=2,b=2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1-a,∴l1的斜率也存在,ab=1-a,即b=a1-a.故l1和l2的方程可分别表示为l1:(a-1)x+y+4a-1a=0,l2:(a-1)x+y+a1-a=0.∵原点到l1与l2的距离相等,∴4a-1a=a1-a,解得a=2或a=23.因此a=2, b=-2,或a=23,b=2. 类型2 两条直线的交点与距离问题1.2.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础,通过交点与距离涵盖直线的所有问题.3.解决解析几何中的交点与距离问题,往往是代数运算与几何图形直观分析相结合,培养数学运算的核心素养.【例2】 (1)两平行直线l1:3x+2y+1=0与l2:6mx+4y+m=0之间的距离为( )A.0 B.1313 C.1326 D.1010(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.(1)C [直线l1与l2平行,所以36m=24≠1m,解得m=1,所以直线l2的方程为6x+4y+1=0,所以直线l1:3x+2y+1=0,即6x+4y+2=0,与直线l2:6x+4y+1=0的距离为d=2-136+16=1326.故选C.](2)[解] 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0. 类型3 求圆的方程1.求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点,一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等,主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质,运用几何方法或代数方法解决问题,多以选择题、填空题为主,属于基础题.(1)圆的方程中有三个参数,即标准方程中的a,b,r,或一般式中的D,E,F,因此需要三个独立条件建立方程组求解.(2)求圆的方程时,首选几何法,即先分析给出的条件的几何意义,或直接利用待定系数法求解.2.通过圆的方程的求解,培养数学运算的核心素养.【例3】 (1)已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.①求顶点A和B的坐标;②求△ABC外接圆的一般方程.(2)已知圆的半径为10,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为42,求圆的方程.[解] (1)①联立y=-2x+11,x+3y+2=0,解得x=7,y=-3,所以顶点B(7,-3),因为AC⊥BH,所以kAC·kBH=-1,已知kBH=-13,所以kAC=3,所以设直线AC的方程为y=3x+b,将C(2,-8)代入得b=-14,所以直线AC的方程为y=3x-14.由y=-2x+11,y=3x-14, 可得顶点A(5,1).②设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(5,1),B(7,-3)和C(2,-8)三点的坐标分别代入,得5D+E+F+26=0,7D-3E+F+58=0,2D-8E+F+68=0,解得D=-4, E=6, F=-12,所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4x+6y-12=0.(2)法一:设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.①由方程组x-y=0, x-a2+y-b2=10,得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,所以x1+x2=a+b,x1·x2=a2+b2-102.由弦长公式得2·a+b2-2a2+b2-10=42,化简得(a-b)2=4.②解①②组成的方程组,得a=2,b=4或a=-2,b=-4.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10,则圆心为(a,b),半径r=10,圆心(a,b)到直线x-y=0的距离d=a-b2.由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2+4222=r2,即a-b22+8=10,所以(a-b)2=4.又因为b=2a,所以a=2,b=4或a=-2,b=-4.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10. 类型4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.圆具有许多重要的几何性质,如圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点的连线垂直于弦;切线长定理;直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量.另外,对于未给出图形的题目,要边读题边画图,这样能更好地体会圆的几何形状,有助于找到解题思路.2.研究直线与圆、圆与圆的位置关系,集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.【例4】 (1)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,求a的值.(2)已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.①求过M点的圆的切线方程;②若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.[解] (1)由题意知,圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0的公共弦所在的直线的方程为2ay-2=0,而x2+y2=4的圆心(0,0)到2ay-2=0的距离为d=-22a2=1a,∴22=(3)2+1a2,结合a>0得a=1.(2)①圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知k-2+1-3kk2+1=2,解得k=34.∴圆的切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.②∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为a+2a2+1,∴a+2a2+12+2322=4,解得a=-34.
类型1 两条直线的平行与垂直1.解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定:若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题,要注意排除两条直线重合的可能性.2.一般式方程下两直线的平行与垂直已知两直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.3.通过讨论两条直线的平行与垂直,提升逻辑推理的学科素养.【例1】 已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.[解] (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)·1=0.即a2-a-b=0.①又点(-3,-1)在l1上,∴-3a+b+4=0.②由①②解得a=2,b=2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1-a,∴l1的斜率也存在,ab=1-a,即b=a1-a.故l1和l2的方程可分别表示为l1:(a-1)x+y+4a-1a=0,l2:(a-1)x+y+a1-a=0.∵原点到l1与l2的距离相等,∴4a-1a=a1-a,解得a=2或a=23.因此a=2, b=-2,或a=23,b=2. 类型2 两条直线的交点与距离问题1.2.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础,通过交点与距离涵盖直线的所有问题.3.解决解析几何中的交点与距离问题,往往是代数运算与几何图形直观分析相结合,培养数学运算的核心素养.【例2】 (1)两平行直线l1:3x+2y+1=0与l2:6mx+4y+m=0之间的距离为( )A.0 B.1313 C.1326 D.1010(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.(1)C [直线l1与l2平行,所以36m=24≠1m,解得m=1,所以直线l2的方程为6x+4y+1=0,所以直线l1:3x+2y+1=0,即6x+4y+2=0,与直线l2:6x+4y+1=0的距离为d=2-136+16=1326.故选C.](2)[解] 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0. 类型3 求圆的方程1.求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点,一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等,主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质,运用几何方法或代数方法解决问题,多以选择题、填空题为主,属于基础题.(1)圆的方程中有三个参数,即标准方程中的a,b,r,或一般式中的D,E,F,因此需要三个独立条件建立方程组求解.(2)求圆的方程时,首选几何法,即先分析给出的条件的几何意义,或直接利用待定系数法求解.2.通过圆的方程的求解,培养数学运算的核心素养.【例3】 (1)已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.①求顶点A和B的坐标;②求△ABC外接圆的一般方程.(2)已知圆的半径为10,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为42,求圆的方程.[解] (1)①联立y=-2x+11,x+3y+2=0,解得x=7,y=-3,所以顶点B(7,-3),因为AC⊥BH,所以kAC·kBH=-1,已知kBH=-13,所以kAC=3,所以设直线AC的方程为y=3x+b,将C(2,-8)代入得b=-14,所以直线AC的方程为y=3x-14.由y=-2x+11,y=3x-14, 可得顶点A(5,1).②设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(5,1),B(7,-3)和C(2,-8)三点的坐标分别代入,得5D+E+F+26=0,7D-3E+F+58=0,2D-8E+F+68=0,解得D=-4, E=6, F=-12,所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4x+6y-12=0.(2)法一:设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.①由方程组x-y=0, x-a2+y-b2=10,得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,所以x1+x2=a+b,x1·x2=a2+b2-102.由弦长公式得2·a+b2-2a2+b2-10=42,化简得(a-b)2=4.②解①②组成的方程组,得a=2,b=4或a=-2,b=-4.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10,则圆心为(a,b),半径r=10,圆心(a,b)到直线x-y=0的距离d=a-b2.由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2+4222=r2,即a-b22+8=10,所以(a-b)2=4.又因为b=2a,所以a=2,b=4或a=-2,b=-4.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10. 类型4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.圆具有许多重要的几何性质,如圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点的连线垂直于弦;切线长定理;直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量.另外,对于未给出图形的题目,要边读题边画图,这样能更好地体会圆的几何形状,有助于找到解题思路.2.研究直线与圆、圆与圆的位置关系,集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.【例4】 (1)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,求a的值.(2)已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.①求过M点的圆的切线方程;②若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.[解] (1)由题意知,圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0的公共弦所在的直线的方程为2ay-2=0,而x2+y2=4的圆心(0,0)到2ay-2=0的距离为d=-22a2=1a,∴22=(3)2+1a2,结合a>0得a=1.(2)①圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知k-2+1-3kk2+1=2,解得k=34.∴圆的切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.②∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为a+2a2+1,∴a+2a2+12+2322=4,解得a=-34.
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