数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案设计

章末复习

一、两直线的平行与垂直

1．判断两直线平行、垂直的方法

(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.

(2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.

(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)

2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养．

例1　(1)已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.

答案　3

解析　kAB＝＝－，

当2－2a＝－a，即a＝2时，

kAB＝－，CD的斜率不存在．

∴AB和CD不平行；

当a≠2时，kCD＝＝.

由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0.

∴a＝3或a＝－1.

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，

∴AB与CD平行．

当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，

∴AB与CD重合．

∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．

(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．

答案　垂直

解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，

得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.

反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直：

已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

跟踪训练1　(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．

答案　－3

(2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝________.

答案　－1

解析　因为直线x＋my＋6＝0与(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，

所以解得m＝－1.

二、两直线的交点与距离问题

1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．

2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．

例2　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　)

A．－1   B．5

C．－1或5   D．－3或3

答案　C

解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，

∴＝，即|a－2|＝3，

解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.

(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

反思感悟　

跟踪训练2　(1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　)

A．2  B.  C．2  D.

答案　D

解析　根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，

∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，

故两条直线之间的距离d＝＝＝.

(2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　方法一　由得

即直线l过点(1,2)．设点Q(1,2)，因为|PQ|＝＝＞2，

所以满足条件的直线l有2条．故选C.

方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，

解得λ＝－2或，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C.

三、直线与圆的位置关系

1．直线与圆位置关系的判断方法

(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离．

(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．

2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．

例3　已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.

(1)m∈R时，证明l与C总相交；

(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．

(1)证明　直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，

由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3)．

由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，

所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．

(2)解　圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.

如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．

此时PC⊥l，

又kPC＝＝3，所以直线l的斜率为－，

则2m＝－，所以m＝－.

在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.

所以|AB|＝2＝2.

故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.

反思感悟　直线与圆问题的类型

(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．

(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解．

跟踪训练3　已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2, 2)和原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1, 0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程．

解　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)．

由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，

解得a＝－2.

因为圆心C(－2,0)，半径r＝2，

所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.

(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，

设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，

所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，

l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.

由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，

所以＝，解得k＝±1，

所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.

四、圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．

2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养．

例4　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.

(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；

(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．

解　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.

圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝；

C2(4，－2)，r2＝.

因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，

所以圆C1与圆C2相切．

由得12x－8y－12＝0，

即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．

(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为

x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.

点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.

所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.

反思感悟　两圆的公共弦问题

(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

跟踪训练4　(1)已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A， B两点，则线段AB的中垂线方程为________．

答案　x＋y－3＝0

解析　AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2. 又C1(3,0)，C2(0,3)，

所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.

(2)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.

①求证：两圆相交；

②求两圆公共弦所在直线的方程．

①证明　圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，

∴C1(2，－1)，C2(0,1)，两圆的半径均为，

∵|C1C2|＝＝2∈(0,2)，

∴两圆相交．

②解　将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，

(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.

1．(2019·天津改编)设a∈R，直线ax－y＋2＝0和圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相切，则a的值为________．

答案　

解析　由已知条件可得圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得＝2，解得a＝.

2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A在圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则的最小值为________．

答案　1

解析　x2＋y2－2x－4y＋4＝0，

即(x－1)2＋(y－2)2＝1，

圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.

∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．

又∵点A在圆C上，

∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.

3．(2017·天津改编)已知点C在直线l：x＝－1上，点F(1,0)，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A. 若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．

答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1

解析　由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，

所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，

所以点C的纵坐标为.

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．

(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．

解　(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

因为BD＝12，AC＝6，

所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.

因为AB为圆O的直径，AB＝10，

所以圆O的方程为x2＋y2＝25.

从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，

直线PB的方程为y＝－x－.

所以P(－13,9)，|PB|＝＝15.

所以道路PB的长为15(百米)．

(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，

所以P选在D处不满足规划要求．

②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，

所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．

在线段AD上取点M，

因为|OM|＝<＝5，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．

因此Q选在D处也不满足规划要求．

综上，P和Q均不能选在D处．