人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案及答案

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1．圆x2＋y2－6x＋12y＝0的圆心坐标是( )
A．(3,6) B．(－3,6)
C．(－3，－6) D．(3，－6)
答案 D
解析 由x2＋y2－6x＋12y＝0，
得(x－3)2＋(y＋6)2＝45.
圆心为(3，－6)．
2．与圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0同圆心且经过点(1，－1)的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝8
B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝8
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 由圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0得圆心坐标为(3，－1)，
又因为该圆经过点(1，－1)，
故R2＝(1－3)2＋(－1＋1)2＝4.
则所求圆的方程为
(x－3)2＋(y＋1)2＝4，故选C.
3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
答案 D
解析 圆心C(1,0)，kPC＝eq \f(0－－1,1－2)＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D.
4．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
答案 A
解析 方法一 因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，
所以圆C为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
方法二 已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，
所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.
所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－eq \f(1,2) B．1 C．2 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，
可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，
由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，
∴c＝－2－2a，
∴eq \f(|1－2－2a|,\r(1＋a2))＝eq \r(5)，
解得a＝2.
6．已知圆O1与圆O2的半径分别为R，r，且它们是方程x2－9x＋14＝0的两根，若圆O1与圆O2相切，则圆心距|O1O2|等于________．
答案 5或9
解析 解方程x2－9x＋14＝0得x＝2或x＝7.
∵圆O1与圆O2相切，
∴圆心距为7＋2＝9或7－2＝5.
7．若圆C过点(0,2)及直线x－2y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点，则圆C的方程为__________．
答案 x2＋y2－4＝0
解析 设圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＋λ(x－2y)＝0.
又圆C过点(0,2)，代入上述方程得－8－4λ＝0，
即λ＝－2.
故圆C的方程为x2＋y2－4＝0.
8．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________．
答案 2x＋y－3＝0
解析 设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(5,4)，①
圆C：(x－1)2＋y2＝1，②
①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
9．已知圆C经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆C的方程．
解 ∵A(0，－6)，B(1，－5)，
∴线段AB的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，
直线AB的斜率kAB＝eq \f(－5－－6,1－0)＝1.
∴AB的垂直平分线l′的方程是
y＋eq \f(11,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即x＋y＋5＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋5＝0，,x－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))
即圆心C(－3，－2)，则圆的半径
r＝|AC|＝eq \r(0＋32＋－6＋22)＝5.
∴圆C的方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,x2＋y2－4x＋2y－11＝0))的解
两式相减得，3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝eq \f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋－42))＝eq \f(9,5).
∴|AB|＝2eq \r(r\\al(2,1)－d2)＝2eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)))2)＝eq \f(24,5)，
即两圆的公共弦长为eq \f(24,5).
11．若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－eq \r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq \r(5))2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
答案 D
解析 设圆心O(a，0)(a<0)，则
eq \r(5)＝eq \f(|a|,\r(1＋22))，∴|a|＝5.
∴a＝－5.
∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
12．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．
答案 32
解析 由题意可知过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，
所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．
13．已知直线ax－y－1＝0与圆x2＋y2＋2x＋2by－4＝0相交于A，B两点，若线段AB中点为(1,1)，则a＝________，b＝________.
答案 2 －2
解析 由点(1,1)在直线ax－y－1＝0上，得a＝2，圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋b)2＝5＋b2，
则圆心(－1，－b)与点(1,1)连线的斜率
k＝eq \f(1＋b,2)＝－eq \f(1,a)＝－eq \f(1,2).
解得b＝－2.
14．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程是________．
答案 x2＋y2＝4
解析 设动点P的坐标为(x，y)，依题意有|PO|＝eq \f(r,sin 30°)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2，∴x2＋y2＝4，即所求的轨迹方程为x2＋y2＝4.
15．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1
C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
答案 A
解析 由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5eq \r(2)，即|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5eq \r(2)－4.
16．若⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交？若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离，若不相交，说明理由．
解 ⊙A的方程可写成(x－1)2＋(y－1)2＝9，
圆心A(1,1)，半径为3.
⊙B的方程可写成(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心B(－1，－1)，半径为2.
∴两圆心之间的距离满足
3－2<|AB|＝eq \r(1＋12＋1＋12)＝2eq \r(2)<3＋2.
∴两圆相交，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x－2y－7＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，))
两式相减，
得过两圆交点的直线方程为4x＋4y＋5＝0.
设两交点分别为C，D，则CD：4x＋4y＋5＝0，
点A到直线CD的距离为
d＝eq \f(|4×1＋4×1＋5|,\r(42＋42))＝eq \f(13\r(2),8).
则两交点间的距离|CD|＝2eq \r(r2－d2)＝eq \f(\r(238),4).