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    2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第2章《再练一课(范围:§2.4~§2.5)》(含解析)
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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案及答案

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案及答案,共5页。

    1.圆x2+y2-6x+12y=0的圆心坐标是( )
    A.(3,6) B.(-3,6)
    C.(-3,-6) D.(3,-6)
    答案 D
    解析 由x2+y2-6x+12y=0,
    得(x-3)2+(y+6)2=45.
    圆心为(3,-6).
    2.与圆x2+y2-6x+2y+6=0同圆心且经过点(1,-1)的圆的方程是( )
    A.(x-3)2+(y+1)2=8
    B.(x+3)2+(y+1)2=8
    C.(x-3)2+(y+1)2=4
    D.(x+3)2+(y+1)2=4
    答案 C
    解析 由圆x2+y2-6x+2y+6=0得圆心坐标为(3,-1),
    又因为该圆经过点(1,-1),
    故R2=(1-3)2+(-1+1)2=4.
    则所求圆的方程为
    (x-3)2+(y+1)2=4,故选C.
    3.若P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )
    A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0
    C.x+y-1=0 D.x-y-3=0
    答案 D
    解析 圆心C(1,0),kPC=eq \f(0--1,1-2)=-1,
    则kAB=1,AB的方程为y+1=x-2,
    即x-y-3=0,故选D.
    4.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是( )
    A.(x-2)2+(y+1)2=1
    B.(x-2)2+(y-1)2=1
    C.(x-1)2+(y+2)2=1
    D.(x+1)2+(y-2)2=1
    答案 A
    解析 方法一 因为点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),
    所以圆C为(-x+2)2+(-y-1)2=1,
    即(x-2)2+(y+1)2=1.
    方法二 已知圆的圆心是(-2,1),半径是1,
    所以圆C的圆心是(2,-1),半径是1.
    所以圆C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.
    5.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a等于( )
    A.-eq \f(1,2) B.1 C.2 D.eq \f(1,2)
    答案 C
    解析 由题意知圆心为(1,0),由圆的切线与直线ax-y+1=0垂直,
    可设圆的切线方程为x+ay+c=0,
    由切线x+ay+c=0过点P(2,2),
    ∴c=-2-2a,
    ∴eq \f(|1-2-2a|,\r(1+a2))=eq \r(5),
    解得a=2.
    6.已知圆O1与圆O2的半径分别为R,r,且它们是方程x2-9x+14=0的两根,若圆O1与圆O2相切,则圆心距|O1O2|等于________.
    答案 5或9
    解析 解方程x2-9x+14=0得x=2或x=7.
    ∵圆O1与圆O2相切,
    ∴圆心距为7+2=9或7-2=5.
    7.若圆C过点(0,2)及直线x-2y=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点,则圆C的方程为__________.
    答案 x2+y2-4=0
    解析 设圆C的方程为x2+y2+2x-4y-4+λ(x-2y)=0.
    又圆C过点(0,2),代入上述方程得-8-4λ=0,
    即λ=-2.
    故圆C的方程为x2+y2-4=0.
    8.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为________.
    答案 2x+y-3=0
    解析 设P(3,1),圆心C(1,0),切点为A,B,则P,A,C,B四点共圆,且PC为圆的直径,∴四边形PACB的外接圆方程为(x-2)2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(1,2)))2=eq \f(5,4),①
    圆C:(x-1)2+y2=1,②
    ①-②得2x+y-3=0,此即为直线AB的方程.
    9.已知圆C经过点A(0,-6),B(1,-5),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆C的方程.
    解 ∵A(0,-6),B(1,-5),
    ∴线段AB的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-\f(11,2))),
    直线AB的斜率kAB=eq \f(-5--6,1-0)=1.
    ∴AB的垂直平分线l′的方程是
    y+eq \f(11,2)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2))),
    即x+y+5=0.
    解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y+5=0,,x-y+1=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-3,,y=-2,))
    即圆心C(-3,-2),则圆的半径
    r=|AC|=eq \r(0+32+-6+22)=5.
    ∴圆C的方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
    10.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
    解 设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
    则A,B两点坐标是方程组
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2+2x-6y+1=0,,x2+y2-4x+2y-11=0))的解
    两式相减得,3x-4y+6=0.
    ∵A,B两点坐标都满足此方程,
    ∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
    易知圆C1的圆心(-1,3),半径r1=3.
    又C1到直线AB的距离为d=eq \f(|-1×3-4×3+6|,\r(32+-42))=eq \f(9,5).
    ∴|AB|=2eq \r(r\\al(2,1)-d2)=2eq \r(32-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)))2)=eq \f(24,5),
    即两圆的公共弦长为eq \f(24,5).
    11.若圆心在x轴上,半径为eq \r(5)的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( )
    A.(x-eq \r(5))2+y2=5 B.(x+eq \r(5))2+y2=5
    C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5
    答案 D
    解析 设圆心O(a,0)(a<0),则
    eq \r(5)=eq \f(|a|,\r(1+22)),∴|a|=5.
    ∴a=-5.
    ∴圆O的方程为(x+5)2+y2=5.
    12.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的有________条.
    答案 32
    解析 由题意可知过点A(11,2)的最短的弦长为10,最长的弦长为26,
    所以弦长为整数的有2+2×(26-10-1)=32(条).
    13.已知直线ax-y-1=0与圆x2+y2+2x+2by-4=0相交于A,B两点,若线段AB中点为(1,1),则a=________,b=________.
    答案 2 -2
    解析 由点(1,1)在直线ax-y-1=0上,得a=2,圆的方程化为(x+1)2+(y+b)2=5+b2,
    则圆心(-1,-b)与点(1,1)连线的斜率
    k=eq \f(1+b,2)=-eq \f(1,a)=-eq \f(1,2).
    解得b=-2.
    14.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程是________.
    答案 x2+y2=4
    解析 设动点P的坐标为(x,y),依题意有|PO|=eq \f(r,sin 30°)=eq \f(1,\f(1,2))=2,∴x2+y2=4,即所求的轨迹方程为x2+y2=4.
    15.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
    A.5eq \r(2)-4 B.eq \r(17)-1
    C.6-2eq \r(2) D.eq \r(17)
    答案 A
    解析 由题意知,圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2,3),C2(3,4),且|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2,-3),
    所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|≥|CC2|=5eq \r(2),即|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4≥5eq \r(2)-4.
    16.若⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断⊙A和⊙B是否相交?若相交,求过两交点的直线方程及两交点间的距离,若不相交,说明理由.
    解 ⊙A的方程可写成(x-1)2+(y-1)2=9,
    圆心A(1,1),半径为3.
    ⊙B的方程可写成(x+1)2+(y+1)2=4,
    圆心B(-1,-1),半径为2.
    ∴两圆心之间的距离满足
    3-2<|AB|=eq \r(1+12+1+12)=2eq \r(2)<3+2.
    ∴两圆相交,
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2-2x-2y-7=0,,x2+y2+2x+2y-2=0,))
    两式相减,
    得过两圆交点的直线方程为4x+4y+5=0.
    设两交点分别为C,D,则CD:4x+4y+5=0,
    点A到直线CD的距离为
    d=eq \f(|4×1+4×1+5|,\r(42+42))=eq \f(13\r(2),8).
    则两交点间的距离|CD|=2eq \r(r2-d2)=eq \f(\r(238),4).
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