2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案及答案

这是一份2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案及答案，共6页。学案主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－1 D．1
答案 C
解析 由已知，得eq \f(y＋3,4－2)＝tan 45°＝1.故y＝－1.
2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋1＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1.))
∴交点(－1,1)在第二象限．故选B.
3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4eq \r(2) C．2eq \r(5) D．2eq \r(10)
答案 C
解析 设A(x，0)，B(0，y)，
由中点公式得x＝4，y＝－2，
则由两点间的距离公式得|AB|＝eq \r(42＋－22)＝eq \r(20)＝2eq \r(5).
5．已知直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，垂足为(2，p)，则p＋m＋n的值为( )
A．－6 B．6 C．4 D．10
答案 A
解析 因为直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，
所以2×3＋(－2)m＝0，解得m＝3，
又垂足为(2，p)，
代入两条直线方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋3p－1＝0，,6－2p＋n＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝－1，,n＝－8，))
则p＋m＋n＝－1＋3＋(－8)＝－6.
6．设P，Q分别是3x＋4y－10＝0与6x＋8y＋5＝0上的任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B．6 C.eq \f(9,5) D.eq \f(5,2)
答案 D
解析 两条直线的方程分别为3x＋4y－10＝0与6x＋8y＋5＝0，
因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－10,5)，
直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋eq \f(5,2)＝0，
所以两平行线的距离即为|PQ|的最小值即d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－10－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq \f(5,2).
二、多项选择题
7．下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
答案 AB
解析 A选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确；
B选项，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，故正确；
C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；
D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误．
8．已知直线l：eq \r(3)x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l的倾斜角是eq \f(π,6)
B．若直线m：x－eq \r(3)y＋1＝0，则l⊥m
C．点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，0))到直线l的距离是2
D．过(2eq \r(3)，2)与直线l平行的直线方程是eq \r(3)x－y－4＝0
答案 CD
解析 对于A，直线l：eq \r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝eq \r(3)，故直线l的倾斜角是eq \f(π,3)，故A错误；
对于B，因为直线m：x－eq \r(3)y＋1＝0的斜率k′＝eq \f(\r(3),3)，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点(eq \r(3)，0)到直线l的距离d＝eq \f(|\r(3)×\r(3)－0＋1|,\r(\r(3)2＋－12))＝2，故C正确；
对于D，过(2eq \r(3)，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝eq \r(3)(x－2eq \r(3))，整理得eq \r(3)x－y－4＝0，故D正确．
三、填空题
9．已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的长为________，过A，B两点直线的倾斜角为________．
答案 eq \r(2) eq \f(3π,4)
解析 根据两点之间的距离公式，得线段AB的长为eq \r(1－22＋2－12)＝eq \r(2)，
根据斜率公式，得过A，B两点直线的斜率为kAB＝eq \f(2－1,1－2)＝－1，
又因为直线的倾斜角的范围为[0，π)，
所以过A，B两点直线的倾斜角为eq \f(3π,4).
10．已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
答案 －6
解析 直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，
∴＝eq \f(1＋2,1－0)＝3，
∵直线l1经过点A(0，－1)和点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,a)，1))，
∴＝eq \f(2,－\f(4,a))＝－eq \f(a,2)，
∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，
∴－eq \f(a,2)＝3，
解得a＝－6.
11．已知点O(0,0)，A(4,0)，B(0,4)．若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2,0)，则反射光线所在直线的方程为____________；若从点M(m，0)，m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是________．(结果用m表示)
答案 x－2y＋2＝0 eq \r(2m2＋32)
解析 设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－0,x0－1)·－1＝－1，,\f(x0＋1,2)＋\f(y0＋0,2)－4＝0，))
解得x0＝4，y0＝3，
故P′(4,3)，又Q(－2,0)，
∴直线P′Q：y－0＝eq \f(3－0,4－－2)(x＋2)，即x－2y＋2＝0.
点M(m，0)，m∈(0,4)关于y轴的对称点为P″(－m，0)，
设关于直线AB的对称点为P(x1，y1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y1－0,x1－m)·－1＝－1，,\f(x1＋m,2)＋\f(y1＋0,2)－4＝0，))
解得x1＝4，y1＝4－m，故P(4,4－m)．
故|P″P|＝eq \r(4＋m2＋4－m2)＝eq \r(2m2＋32).
12．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点到原点的距离的最小值为________．
答案 eq \f(6\r(5),5)
解析 设AB的中点坐标为(x，y)，
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))
又A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x1＋y1－7＝0，,2x2＋y2－5＝0，))
两式相加得2(x1＋x2)＋(y1＋y2)－12＝0，
所以4x＋2y－12＝0，即2x＋y－6＝0，即为AB中点所在直线方程，
因此原点到直线2x＋y－6＝0的距离，
即为AB的中点到原点的距离的最小值，
由点到直线的距离公式，
可得距离的最小值为eq \f(|－6|,\r(4＋1))＝eq \f(6\r(5),5).
四、解答题
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
解 (1)如图，当∠A＝∠D＝90°时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB.
∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.
(2)如图，当∠A＝∠B＝90°时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC，且AB⊥BC，
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－2,m－2)＝\f(2－－1,4－5)，,\f(n＋1,m－5)·\f(2－－1,4－5)＝－1，))
解得m＝eq \f(16,5) ，n＝－eq \f(8,5).
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝eq \f(16,5)，n＝－eq \f(8,5).
14．已知直线l过点(1,2)，且在两坐标轴上的截距相等．
(1)求直线l的方程；
(2)当直线l的截距不为0时，求A(3,4)关于直线l的对称点．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设直线l的方程为x＋y＋b＝0，
将点(1,2)代入直线l的方程，得1＋2＋b＝0，解得b＝－3，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0；
当直线l过原点时，可设直线l的方程为y＝kx，将点(1,2)代入直线l的方程，
得k＝2，此时直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－3＝0或2x－y＝0.
(2)当直线l的截距不为0时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
设点A关于直线l的对称点B的坐标为(a，b)，
则线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2)，\f(b＋4,2)))，且点M在直线l上，
则eq \f(a＋3,2)＋eq \f(b＋4,2)－3＝0，
整理得a＋b＋1＝0，
又直线AB⊥l，且直线l的斜率为－1，
所以直线AB的斜率为kAB＝eq \f(b－4,a－3)＝1，
整理得b＝a＋1，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋1＝0，,b＝a＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0，))
因此，点A(3,4)关于直线l的对称点为(－1,0)．
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
解 (1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
所以kAC＝－2，
又因为点A(5,1)，
所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0.
又因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))
所以C(4,3)．
(2)设B(m，n)，
则AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5＋m,2)，\f(1＋n,2)))在中线CM上，
所以2×eq \f(5＋m,2)－eq \f(1＋n,2)－5＝0，
即2m－n－1＝0.
又点B(m，n)在高BH所在直线上，
所以m－2n－5＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2n－5＝0，,2m－n－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－3.))
所以B(－1，－3)．
所以直线BC的方程为eq \f(y＋3,x＋1)＝eq \f(3＋3,4＋1)，即6x－5y－9＝0.