高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程第2课时巩固练习

2.5.1  第2课时直线与圆的方程的应用

分层演练  综合提升

基础巩固

1．的图象和圆在x轴上方所围成的图形的面积是（    ）

A．      B．      C．      D．

2．已知圆截直线所得弦长为4，则实数a的值是（    ）

A．      B．      C．      D．

3．设P是圆上的动点，Q是直线上的动点，则的最小值为（    ）

A．6      B．4      C．3      D．2

4．若实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．2      B．1      C．      D．

5．已知点和圆C：，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是（    ）

A．      B．8      C．      D．10

6．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是________．

7．过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________．

8．台风中心从A地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市B在A地正东处，则城市B处于危险区的时间为________h．

9．如图，为圆的定直径，为直径，自D作的垂线，延长到P，使，求证：直线必过一定点．

10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的A处出发，径直驶向位于海监船正北的B处岛屿，速度为．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？（要求用坐标法）

能力提升

11．若方程有唯一解，则实数k的取值范围是（    ）

A．      B．      C．或      D．或或

12．已知集合，若，则实数b的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

13．已知圆C：，点及点，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________________．

14．某圆拱桥的水面跨度是，拱高为．现有一船宽，在水面以上部分高，通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____m时，船才能安全通过桥洞．（结果精确到）

挑战创新

15．若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的斜率的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

16．如图所示，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心M在线段上并与相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于．经测量，点A位于点O正北方向处，点C位于点O正东方向处（为河岸），．

（1）求新桥的长；

（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？

参考答案

基础巩固

1．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】数形结合，所求面积是圆面积的．

2．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】圆，即

，

故弦心距，

再由弦心距，半弦长和半径的关系可得，

∴．

3．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】如图，圆心与定直线的最短距离为．

又因为圆的半径为2，故所求最短距离为．

4．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】表示圆上的点与间距离的平方，

又点在圆内，所以由几何意义可知最小值为．

5．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】点A关于x轴的对称点与圆心的距离为．∴所求最短路程为．

6．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】圆可化为，

圆心为，半径为．

圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是．

7．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由题意知，点在圆内，

则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，

则所求直线与圆心O和的连线垂直，

∴该直线斜率为，

由点斜式方程，得，

即．

8．【答案】1

【解析】

【分析】

【详解】如图，以A地为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则台风中心经过以为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，

即B处于危险区时，台风中心在线段上，可求得，

所以时间为．

9．【答案】直线过定点，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】证明  以线段所在的直线为x轴，以中点为原点，建立直角坐标系，如图，

设圆的方程为，直径位于x轴上，动直径为．

令，则，

所以．

所以直线的方程为，

即．

所以直线过直线：的交点，

即直线过定点．

10．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解  如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，

则，

圆O方程为．

直线方程为，

即．设O到距离为d，

则，

所以外籍轮船能被海监船监测到．

设监测时间为t，

则．

答  外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为．

能力提升

11．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】方程有唯一解等价于与有唯一公共点．

由图象（图略）知选D．

12．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】数形结合法，注意等价于，

它表示的图形是圆在x轴之上的部分（如图所示）．

结合图形不难求得，

当时，

直线与半圆有公共点．

13．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由题意知，所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，

直线的方程为，即，所以，

即或．

14．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】以水位未涨前的水面的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

设圆拱所在圆的方程为，

∵圆经过点，

∴解得

∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞．

挑战创新

15．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】圆可化为，

则圆心为，半径为．

由圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为，

可得圆心到直线l的距离，

即，

则．①

若，则，不符合题意，

所以，则①式可化为．②

又直线l的斜率，所以②式可化为，解得．

16．【答案】（1）150m;（2）当时，圆形保护区的面积最大

【解析】

【分析】

【详解】解  （1）如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

由条件知，，

直线的斜率．

又因为，

所以直线的斜率．

设点B的坐标为，

则，

，

解得．

所以．

因此新桥的长为．

（2）设保护区的边界圆M的半径为．

由条件知，直线的方程为，

即．

由于圆M与直线相切，

故点到直线的距离是r，

即．

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于，

所以

即

解得．

故当时，最大，即圆面积最大．

所以当时，圆形保护区的面积最大．